matematikk.net

Komponering av funksjoner er definert slik:
Dersom du har to funksjoner f(x) og g(x), er:
[tex]f \circ g(x) = f(g(x)) \\ g \circ f(x) = g(f(x))[/tex]

Eksempelvis, gitt funksjonene
[tex]f(x) = 2x \\ g(x) = 3x^2[/tex]
så er:
[tex]f \circ g(x) = f(3x^2) = 2(3x^2) = 6x^2 \\ g \circ f(x) = g(2x) = 3(2x)^2 = 12 x^2[/tex]

Vi kan nå se på funksjoner komponert med seg selv:
[tex]f\circ f(x)[/tex]

Vi skal gi dette en ny notasjon:
[tex]f \circ f(x) = f^2(x)[/tex]
Pass på! Det vi gjør her er ikke å kvadrere funksjonen, men å komponere den med seg selv.

Eksempelvis: [tex]f(x) = \sin(3x) \\ f^2(x) = f(\sin(3x)) = \sin(3\sin(3x))[/tex]

Vi kan nå definere det vi skal kalle en funksjonal rot. La La oss kalle en funksjon g(x) en funksjonal rot av f(x) dersom
[tex]g^2(x) = f(x)[/tex]

Eksempel:
[tex]g(x) = \frac{1}{x}[/tex] er en funksjonal rot av [tex]f(x) = x[/tex], siden [tex]g^2(x) = x[/tex]
[tex]g(x) = -x[/tex] er også en funksjonal rot av [tex]f(x) = x[/tex]. Vi ser dermed at en funksjonal rot ikke er unik.


Oppgaven nå er som følger:
Prøv å finne funksjonale røtter til følgende funsjoner
[tex]f(x) = x + 4 \\ g(x) = 6x \\ h(x) = ax + b \qquad a \geq 0\\ i(x) = x^4-2x^2 \\ j(x) = \frac{x}{x+1} \\ k(x) = \frac{1}{x}[/tex]

Vi kan generalisere videre til en funksjonal n'terot av f(x), g(x) slik:
[tex]g^n(x) = f(x)[/tex]
Vi ser dermed at den funksjonale (kvadrat-)roten av k(x) over faktisk er en funksjonal fjerderot av f(x) = x

Bonusoppgaver:
Finn et uttrykk som produserer funksjonale n'terøtter av
[tex]f(x) = \frac{x}{x+1}[/tex]

Bevis at funksjonen [tex]f(x) = x^2-2[/tex] ikke har en funksjonal (kvadrat-)rot.

Hvis jeg har forstått dette riktig så er de to første:

[tex]g(x)=x+2[/tex] siden [tex]g^2(x)=(x+2)+2=x+4=f(x)[/tex]

[tex]f(x)=\sqrt6x[/tex] siden [tex]f^2(x)=\sqrt6(\sqrt6x)=6x=g(x)[/tex]

Stemmer!

Legg merke til at det også finnes flere muligheter. For den andre er [tex]f(x) = - \sqrt 6 x[/tex] også en funsjonal rot.

[tex]h(x)=ax+b[/tex] da er den funksjonale roten til h(x)= [tex]\frac+-\sqrt ax+\frac{b}{\sqrt a}[/tex]

edit:
Vet ikke hvordan +/- skrives i tex, men da blir det vel +/- foran roten av a her i begge ledd også for å få alle løsningene da kanskje

Mayhassen skrev:[tex]h(x)=ax+b[/tex] da er den funksjonale roten til h(x)= [tex]\sqrt ax+\frac{b}{\sqrt a}[/tex]

[tex]h(x) = \sqrt a x + \frac{b}{\sqrt a} \Rightarrow h^2(x) = ax + b + \frac{b}{\sqrt a}[/tex]

Den må nok modifiseres litt til

Det må den ja og dette skapte hodebry på morgenen må jeg si
Her må det nok kokes kaffe skal det bli noe greie på

[tex]h(x)=ax+b[/tex]

Går ut ifra at funksjonsroten [symbol:funksjon] er på lineær form. Og at derfor må koeffisienten til x være [tex]\sqrt{a}[/tex] eller [tex]-\sqrt{a}[/tex]

La [tex]f(x)=\sqrt{a}x+c[/tex]
Da er [tex]f^2(x)= \sqrt{a}(\sqrt{a}x+c)+c = ax+c(\sqrt{a}+1)[/tex]
Men [tex]b=c(\sqrt{a}+1) så c = \frac{b}{\sqrt{a}+1}[/tex]

Men la nå [tex]f(x)=-\sqrt{a}x+c[/tex]
Da er [tex]f^2(x)=-\sqrt{a}(-\sqrt{a}x+c)+c = ax+c(-\sqrt{a}+1)[/tex]
Men [tex]b= c(-\sqrt{a}+1)[/tex] så [tex]c=\frac{b}{-\sqrt{a}+1}[/tex]

Dette gir oss funksjonsroten [tex]f(x)=\pm\sqrt{a}x+\frac{b}{\pm\sqrt{a}+1}[/tex]

Setter prøve på svaret og ser at svaret er riktig.

[tex]h(x)=x^4-2x^2[/tex]

Antar at funksjonsroten må være en andregradsfunksjon på formen [tex]ax^2+bx+c[/tex]

La [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]

Da er [tex]f^2(x)=a^3x^4+2a^2bx^3+(2a^2c+b^2a+ab)x^2+(2bc+b^2)x+(bc+c+c^2)[/tex]

Vi observerer ved sammenlikning med funkjsonen h at [tex]a=1, b=0[/tex] siden fjerdegradsleddet skal ha en koeffisient lik 1, og tredjegradsleddet ikke eksisterer (koeffisient lik 0). Setter inn for verdiene og får

[tex]f^2(x)=x^4+(2c)x^2+c+c^2[/tex]

Men vi vet også at koeffisienten foran andregradsleddet er lik -2
Da får vi likningen [tex]2c=-2 \Rightarrow c=-1[/tex]

Dette gir oss [tex]f^2(x)=x^4-2x^2[/tex] Som er uttrykket vi hadde til å begynne med.

Da er funksjonsroten [tex]f(x) = x^2-1[/tex]

[tex]j(x)=\frac{x}{x+1}[/tex]
Antar at funksjonsroten [symbol:funksjon] er på formen [tex]f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}[/tex]

Da er [tex]f^2(x) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx+d})+b}{c(\frac{ax+b}{cx+d})+d} = \frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+cb+d^2}[/tex]

Vi sammenligner med j:

Det gir oss likningene
[tex](1) a^2+bc=1 \\ (2) b(a+d)=0 \\ (3) c(a+d)=1 \\ (4) cb+d^2=1[/tex]

Vi observerer fra (3) at [tex]a+d \not = 0[/tex]
Da må [tex]b=0[/tex] (2)
Vi setter inn i (1) og ser at [tex]a=\pm 1[/tex]
Vi setter inn i (4) og ser at [tex]d=\pm 1[/tex]
Da ser vi fra (3) at a og d må ha samme verdi, for uttrykket ikke skal være 0. Vi setter inn i (3)
[tex]\pm 2 c=1 \Rightarrow x= \pm \frac{1}{2}[/tex]

Det gir oss funksjonsroten [tex]f(x) = \frac{\pm 2x}{\pm x \pm 2} = \pm \frac{2x}{x + 2}[/tex]

Setter prøve på svaret og ser at det stemmer.

[tex]k(x) = \frac{1}{x}[/tex]

På samme måte som forrige oppgave får vi likningene

[tex](1) a^2+bc=0 \\ (2) b(a+d)=1 \\ (3) c(a+d)=1 \\ (4) cb+d^2=0[/tex]

Vi observerer at at [tex]b \not = 0, c \not = 0, (a+d) \not = 0[/tex]

Da kan vi fra (2) og (3) se at b=c.

Det gir oss at [tex]a^2+b^2=0[/tex] og at [tex]b^2+d^2=0[/tex]

som så gir at [tex]a^2 = d^2 \Rightarrow a=\pm d[/tex]

Hmmm, jeg ble litt usikker på denne her, vet ikke om en entydig løsning kan finnes....

Jeg orker ikke mer av dette, lar noen andre få prøve seg.

Kjempeflott, Jarle! Godt arbeid!

Løsningen på systemet over vil gi en funksjon med komplekse koeffisienter.

Det er vanskelig å vite hvor mange funksjonale røtter en gitt funksjon har - noen funksjoner har ingen (slik som sisteoppgaven over), noen har uendelig mange. [tex]f^2(x) = x[/tex] har faktisk uendelig mange funksjonalrøtter. f(x) kalles i dette tilfellet en involusjon, og det kan vises at dersom [tex]\sigma[/tex] er en symmetrisk funksjon i to variable, slik at [tex]\sigma(a, b) \equiv \sigma(b, a)[/tex], vil enhver løsning av likningen [tex]\sigma(x, f(x)) = 0[/tex] være en involusjon.

Når det gjelder oppgaven med funksjonsroten av 1/x, er det god mulig signum-funsjonen kan hjelpe litt på vei: sgn(x) = -1 hvis x er negativ og 1 hvis x er positiv.

[tex]f(f(x)) = g(x) \Rightarrow f(x)=f^{-1}(g(x))[/tex]

eller tar jeg helt feil her nå

edit: hvis den kan inverseres da, som noen har gjort meg oppmerksom på

Jada, stemmer dersom f er bijektiv. Men det spørs hvor mye det hjelper, siden f åkke som er ukjent.

Charles Babbage og vår egen Abel tok derimot i bruk en interessant metode for å lete etter løsninger.

La [tex]\phi[/tex] være en bijektiv (og altså invertibel) funksjon, og la oss skrive [tex]\phi^{-1}[/tex] for dens invers
La oss si vi har likningen [tex]g^2(x) = f(x)[/tex], og ønsker å finne g.

Tenk deg at vi søker etter funksjoner på formen [tex]g(x) = \phi^{-1}(h(\phi(x)))[/tex]
Da vil [tex]f(x) = g^2(x) = \phi^{-1}(h^2(\phi(x))=[/tex]
Som innebærer at [tex]\phi(f(x)) = h^2(\phi(x))[/tex]

Dette kalles en "conjugacy equation" på engelsk- noen som vet hva dette er på norsk?

Abel og Schröder utarbeidet noen teknikker for å løse noen spesielle typer av disse likningene, og dette kan av og til brukes for å finne en funksjonalrot.

Angående den første bonusoppgaven: Hvis man ser på funksjonen som en lineær transformasjon og studerer det geometriske aspektet, oppdager man fort hvordan den funksjonale n'te-rota kan skrives, nemlig:
Hvis [tex]f(x)=\frac{x}{x+1}[/tex], så er [tex]f^{\frac{1}{n}}(x)=\frac{x}{\frac{x}{n}+1}[/tex].

Kan dette stemme?

Stemmer som bare søren