Side 1 av 1
Rot
Lagt inn: 18/11-2007 00:49
av Knuta
Vis at
[tex]\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Lagt inn: 18/11-2007 14:06
av sEirik
Blir vel ikke et helt komplett svar det her, men så er det tross alt søndag i dag.
[tex]a_1 = \sqrt{x}[/tex]
[tex]a_2 = \sqrt{x - \sqrt{x}}[/tex]
...
[tex]a_n = \sqrt{x - a_{n-1}}[/tex]
Anta at [tex]{a_n}[/tex] konvergerer. Da må
[tex]a = \sqrt{x - a}[/tex]
[tex]a^2 = x - a[/tex]
[tex]a^2 + a - x = 0[/tex]
[tex]a = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Så kan de som vil fylle ut.
Lagt inn: 18/11-2007 14:11
av mrcreosote
Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
Lagt inn: 18/11-2007 19:16
av Knuta
Da skulle det ikke by på noen problem å vise at
[tex]\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}+1}{2}[/tex]
og at
[tex]\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}[/tex]
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}[/tex] bød ikke på noen spesielle problemer. Men den som er værre:
[tex]\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\sqrt{16+...}}}}}[/tex]
Lagt inn: 18/11-2007 19:26
av mrcreosote
Som sagt, de 2 første der har periodiske koeffisienter og er ikke så vanskelig.
Jeg vil gjerne se et bevis på 1234..., og så skal jeg se på den neste.
Lagt inn: 19/11-2007 02:59
av daofeishi
mrcreosote skrev:Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
Denne løsningen har en bismak av "juks," men skit la gå.
Jeg undersøkte ved hjelp av "ulovlige" hjelpemidler hva det ser ut som grenseverdien går mot - 3. Deretter er det ikke alt for vanskelig å vise at dette faktisk er tilfelle.
[tex]3 = \sqrt{9} = \sqrt{1+2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}} = ...[/tex]
En prosess som kan fortsette indefinitt, siden [tex]n^2 = 1+ (n-1)\sqrt{(n+1)^2}[/tex]