Rot

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Rot

Innlegg Knuta » 18/11-2007 00:49

Vis at

[tex]\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg sEirik » 18/11-2007 14:06

Blir vel ikke et helt komplett svar det her, men så er det tross alt søndag i dag.

[tex]a_1 = \sqrt{x}[/tex]
[tex]a_2 = \sqrt{x - \sqrt{x}}[/tex]
...
[tex]a_n = \sqrt{x - a_{n-1}}[/tex]

Anta at [tex]{a_n}[/tex] konvergerer. Da må

[tex]a = \sqrt{x - a}[/tex]

[tex]a^2 = x - a[/tex]

[tex]a^2 + a - x = 0[/tex]

[tex]a = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]

Så kan de som vil fylle ut.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 18/11-2007 14:11

Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:

[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Knuta » 18/11-2007 19:16

Da skulle det ikke by på noen problem å vise at

[tex]\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}+1}{2}[/tex]

og at

[tex]\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}[/tex]


[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}[/tex] bød ikke på noen spesielle problemer. Men den som er værre:

[tex]\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\sqrt{16+...}}}}}[/tex]
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 18/11-2007 19:26

Som sagt, de 2 første der har periodiske koeffisienter og er ikke så vanskelig.

Jeg vil gjerne se et bevis på 1234..., og så skal jeg se på den neste.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 19/11-2007 02:59

mrcreosote skrev:Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:

[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]


Denne løsningen har en bismak av "juks," men skit la gå.
Jeg undersøkte ved hjelp av "ulovlige" hjelpemidler hva det ser ut som grenseverdien går mot - 3. Deretter er det ikke alt for vanskelig å vise at dette faktisk er tilfelle.

[tex]3 = \sqrt{9} = \sqrt{1+2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}} = ...[/tex]

En prosess som kan fortsette indefinitt, siden [tex]n^2 = 1+ (n-1)\sqrt{(n+1)^2}[/tex]
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 53 gjester