matematikk.net

Fubinis teorem sier at hvis visse betingelser er oppfylt er det ingenting i veien for å bytte om på integrasjonsrekkefølgen i et dobbeltintegral. Dette kan brukes til å løse bestemte integraler som ikke lar seg løse rett fram ellers; for eksempel kan vi utlede tetthetsintegralet

[tex]\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt\pi[/tex]


Noen ganger kan det i lys av Fubinis teorem lønne seg å skrive en funksjon som et integral i stedet. For eksempel veit vi at

[tex]\frac1x = \int_0^\infty e^{-xt} dt[/tex]

Hvis vi nå antar betingelsene for teoremet er oppfylt, beregn integralet

[tex]\int_0^\infty \frac{\sin x}x dx[/tex]

Ah! Integralet over er et jeg har strevd med før. Nå kom svaret pent og pyntelig poppende ut! Nydelig! I tillegg ser jeg nå enda et mulig bruksområde for tabeller over Laplacetransformeringer

Noen andre kan få lov til å besvare denne oppgaven, men jeg slenger gjerne på med en ekstraoppgave:

a) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+1} \rm{d} x[/tex]
b) Finn [tex]\int _0 ^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+n^2} \rm{d} x[/tex]

I en tabell over Laplacetransformeringer, vil man finne at:

[tex]\int _0 ^\infty \sin(nt)e^{-xt} \rm{d}t = \frac{n}{x^2+ n^2}[/tex]

daofeishi skrev:Ah! Integralet over er et jeg har strevd med før.

Da bør du skaffe deg ei innføringsbok i kompleks analyse! Slike integraler regnes ganske greit ut med residueteoremet, ekstraoppgavene knekkes også relativt lett med dette. Ganske gøye greier i grunnen.

Nå vet jeg ikke om denne boka duger som en innføringsbok, men

Elias M. Stein: Complex analysis

er en bra bok, og kan være kjekk å ha etterhvert. Stein er vel forøvring for "guru" å regne inne kompleks og harmonisk analyse.

Tristan Needhams bok "Visual Complex Analysis" er også en fin bok, som presenterer de kjente ideene fra kompleks analyse med vekt på de geometriske tolkningene av disse.

Jeg har slengt et par boeker i kompleks analyse paa juleoenskelista. Jeg har riktignok arbeid ut aaret og vel saa det med aa komme gjennom "baby rudin" foerst.