Side 1 av 1
Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?
Lagt inn: 09/11-2007 09:01
av mrcreosote
Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?
Lagt inn: 09/11-2007 11:29
av daofeishi
Joda, la oss se litt på [tex]\sqrt{2}[/tex] Jeg regner med at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt, men jeg er såpass lat at jeg ikke gidder bevise det. Det trenger jeg ikke heller. Hvis det er rasjonalt, så er vi ferdige - Vi har funnet to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.
Velvel, anta så at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt. Da vil [tex]\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = \left( 2^{\frac{\sqrt 2}{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = 2[/tex], og vi har to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.
Så her kan vi gi et positivt svar, ja!
Lagt inn: 09/11-2007 14:29
av mrcreosote
Du valgte skoleeksemplet, ja. Det er i grunnen et ganske morsomt bevis syns jeg. Om [tex]\sqrt2^sqrt2[/tex] er irrasjonalt har veit jeg ikke (sjøl om det er "opplagt" at det må være det), så jeg hadde blitt glad om noen hadde vist det for meg.
Lagt inn: 09/11-2007 15:14
av sEirik
Tenkte også at "hovedbeviset" kunne løses med Lamberts W-funksjon, som vi som har vært på forumet en stund kjenner godt til.
Lenge siden sist den har vært med i diskusjoner, så hvis noen vil poste et bevis som bruker den, så hadde jo det vært koselig!
Re: Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?
Lagt inn: 09/11-2007 15:28
av Knuta
mrcreosote skrev:Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?
Hvis jeg får lov til å gå via det komplexe planet så er ikke løsningen så langt unna.
[tex]e^{\pi i}=-1[/tex]
Men hvis du tenker kun på reelle tall så skal jeg sjekke nærmere problemstillingen.
Lagt inn: 09/11-2007 15:31
av sEirik
En ting er i hvert fall sikkert.
Hvis [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er rasjonalt, så må [tex]2^{\sqrt{2}}[/tex] også være rasjonalt:
[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}}[/tex]
Som vi alle vet er produktet av to rasjonale tall og så rasjonalt.
Dette kan kanskje forenkle problemstillingen litt?
Lagt inn: 09/11-2007 15:54
av Charlatan
[tex]e^{\ln{2}}=2[/tex]
Lagt inn: 09/11-2007 18:18
av mrcreosote
Da regner jeg med du er i stand til å vise at e og ln 2 er irrasjonale, Jarle!
Irrasjonale tall har aldri vært annet enn reelle.