Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Joda, la oss se litt på [tex]\sqrt{2}[/tex] Jeg regner med at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt, men jeg er såpass lat at jeg ikke gidder bevise det. Det trenger jeg ikke heller. Hvis det er rasjonalt, så er vi ferdige - Vi har funnet to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Velvel, anta så at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt. Da vil [tex]\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = \left( 2^{\frac{\sqrt 2}{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = 2[/tex], og vi har to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Så her kan vi gi et positivt svar, ja!
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Du valgte skoleeksemplet, ja. Det er i grunnen et ganske morsomt bevis syns jeg. Om [tex]\sqrt2^sqrt2[/tex] er irrasjonalt har veit jeg ikke (sjøl om det er "opplagt" at det må være det), så jeg hadde blitt glad om noen hadde vist det for meg.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Tenkte også at "hovedbeviset" kunne løses med Lamberts W-funksjon, som vi som har vært på forumet en stund kjenner godt til. :) Lenge siden sist den har vært med i diskusjoner, så hvis noen vil poste et bevis som bruker den, så hadde jo det vært koselig! :)
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

mrcreosote skrev:Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?
Hvis jeg får lov til å gå via det komplexe planet så er ikke løsningen så langt unna.

[tex]e^{\pi i}=-1[/tex]

Men hvis du tenker kun på reelle tall så skal jeg sjekke nærmere problemstillingen.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

En ting er i hvert fall sikkert.

Hvis [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er rasjonalt, så må [tex]2^{\sqrt{2}}[/tex] også være rasjonalt:

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}}[/tex]

Som vi alle vet er produktet av to rasjonale tall og så rasjonalt.

Dette kan kanskje forenkle problemstillingen litt?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

[tex]e^{\ln{2}}=2[/tex] :)
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Da regner jeg med du er i stand til å vise at e og ln 2 er irrasjonale, Jarle!

Irrasjonale tall har aldri vært annet enn reelle.
Svar