Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?

Innlegg mrcreosote » 09/11-2007 09:01

Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 09/11-2007 11:29

Joda, la oss se litt på [tex]\sqrt{2}[/tex] Jeg regner med at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt, men jeg er såpass lat at jeg ikke gidder bevise det. Det trenger jeg ikke heller. Hvis det er rasjonalt, så er vi ferdige - Vi har funnet to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Velvel, anta så at [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er irrasjonalt. Da vil [tex]\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = \left( 2^{\frac{\sqrt 2}{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = 2[/tex], og vi har to irrasjonale tall som opphøyd i hverandre gir et rasjonalt tall.

Så her kan vi gi et positivt svar, ja!
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg mrcreosote » 09/11-2007 14:29

Du valgte skoleeksemplet, ja. Det er i grunnen et ganske morsomt bevis syns jeg. Om [tex]\sqrt2^sqrt2[/tex] er irrasjonalt har veit jeg ikke (sjøl om det er "opplagt" at det må være det), så jeg hadde blitt glad om noen hadde vist det for meg.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg sEirik » 09/11-2007 15:14

Tenkte også at "hovedbeviset" kunne løses med Lamberts W-funksjon, som vi som har vært på forumet en stund kjenner godt til. :) Lenge siden sist den har vært med i diskusjoner, så hvis noen vil poste et bevis som bruker den, så hadde jo det vært koselig! :)
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Re: Irrasjonal^irrasjonal = rasjonal?

Innlegg Knuta » 09/11-2007 15:28

mrcreosote skrev:Finnes det to irrasjonale tall slik at det ene opphøyd i det andre er rasjonalt?


Hvis jeg får lov til å gå via det komplexe planet så er ikke løsningen så langt unna.

[tex]e^{\pi i}=-1[/tex]

Men hvis du tenker kun på reelle tall så skal jeg sjekke nærmere problemstillingen.
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg sEirik » 09/11-2007 15:31

En ting er i hvert fall sikkert.

Hvis [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/tex] er rasjonalt, så må [tex]2^{\sqrt{2}}[/tex] også være rasjonalt:

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}}[/tex]

Som vi alle vet er produktet av to rasjonale tall og så rasjonalt.

Dette kan kanskje forenkle problemstillingen litt?
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg Charlatan » 09/11-2007 15:54

[tex]e^{\ln{2}}=2[/tex] :)
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg mrcreosote » 09/11-2007 18:18

Da regner jeg med du er i stand til å vise at e og ln 2 er irrasjonale, Jarle!

Irrasjonale tall har aldri vært annet enn reelle.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 33 gjester