Uegentlig integral, konvergering

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Uegentlig integral, konvergering

Innlegg Olorin » 07/11-2007 15:17

NB. Denne har sånn passe vanskelighetsgrad, men kan være en utfordring for flittige VGS-elever eller de som nettopp har startet på universitetet.


Gitt det uegentlige integralet: [tex]\int_0^\infty xe^{ax}\rm{dx}[/tex]

For hvilke verdier av konstanten a konvergerer integralet? Og hva er da integralets verdi uttrykt ved a?
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin offline
Lagrange
Lagrange
Brukerens avatar
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 07/11-2007 22:42

Hm, jeg er ikke helt sikker på dette her altså.

Vi observerer først at [tex]a \ < \ 0[/tex], fordi [tex]a[/tex] over [tex]0[/tex], og [tex]a[/tex] lik [tex]0[/tex] vil gjøre at integralet divergerer. (én eller to positive faktorer som gjør at grafen stiger grenseløst)

Vi integrerer:

[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}]^{\infty}_0-\frac{1}{a}\int^{\infty}_0e^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax}]^{\infty}_0 = \lim_{x \to \infty }(\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax})+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex]

Ok, la oss nå se på [tex]\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex], vi vet at a er negativ, så la [tex]a=-|a|[/tex]
Det gir oss grenseverdien
[tex]\lim_{x \to \infty}e^{-|a|x}(-|a|x-1) = \lim_{x \to \infty}-\frac{|a|x}{e^{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = \lim_{x \to \infty}-\frac{1}{\frac{e^{|a|x}}{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}e^{|a|x}}{\lim_{x \to \infty}|a|x}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) [/tex]

(l'hôpitals regel)

[tex]= -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}|a|e^{|a|x}}{|a|}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) \\ = -\lim_{x \to \infty}-2e^{-|a|x}=0[/tex]

Derfor blir
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1) = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2} \cdot 0=\frac{1}{a^2}[/tex]
Jeg håper det er riktig!

Svaret vil da være:

[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx[/tex] vil konvergere dersom [tex]a \ < \ 0[/tex] og verdien vil bli [tex]\frac{1}{a^2}[/tex]
Sist endret av Charlatan den 07/11-2007 23:22, endret 3 ganger.
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg ingentingg » 07/11-2007 22:56

Ekstra spørsmål:

Hva skjer viss du lar: [tex]x^ne^{ax}[/tex], stå inni integraltegnet?
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Innlegg Olorin » 07/11-2007 23:24

Helt korrekt Jarle ;) bra!!
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin offline
Lagrange
Lagrange
Brukerens avatar
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 08/11-2007 15:57

:)

Det er riktig at man kan bruke lhopitals regel når både telleren og nevneren går mot uendelig, ikke sant?
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg Olorin » 08/11-2007 16:36

Jepp.. Uendelig/Uendelig eller 0/0
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin offline
Lagrange
Lagrange
Brukerens avatar
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 08/11-2007 19:41

Jeg har laget et svar på ingentingg sitt spørsmål, jeg lagret det som en pdf-fil. Det ble for uoversiktelig på forumet.

Legger til linken her:


http://www.freewebs.com/jarle10/Filer/Uegentlig%20integral.pdf
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg Olorin » 08/11-2007 22:01

Pent.. hvilket program bruker du?
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin offline
Lagrange
Lagrange
Brukerens avatar
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Bosted: Trondheim

Innlegg Charlatan » 08/11-2007 22:02

Texmacs
gratis
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg =) » 08/11-2007 22:24

http://www.texmacs.org/

hvis du er interessert
=) offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

Innlegg Olorin » 08/11-2007 22:30

Takk for info. har prøvd diverse andre TeX programmer uten særlig hell..
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin offline
Lagrange
Lagrange
Brukerens avatar
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Bosted: Trondheim

Innlegg mrcreosote » 08/11-2007 22:52

Bra jobba, Jarle! (Likte spesielt [tex]n\not<0[/tex].)

En alternativ måte å utlede formelen på er å lage en rekursjon: La [tex]I_n = \int_0^\infty x^ne^{-ax}dx[/tex] der a>0 og så bruke delvis integrasjon til å lage en rekursjonsligning.

Hvis vi velger a=1 får vi for øvrig gammafunksjonen.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg ingentingg » 09/11-2007 18:25

Vær litt forsiktig med n<0. Hva skjer viss:

[tex]n = -\frac12 \\ a = -1[/tex]

Med rett substitusjon vil dette gi et kjent integral.
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Innlegg Charlatan » 09/11-2007 18:27

Det forandrer ikke at funksjonen er diskontuerlig i punktet x=0
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg ingentingg » 09/11-2007 18:37

Nei, men man kan integrere en funksjon som er diskontinuerlig.
Ta integralet fra c til R, og ta grensen når c->0+ og R->uendelig
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester