Jeg fant for moroskyld fram noen gamle geometri-innleveringer, og har plukket ut noen av oppgavene derfra å bryne seg på:
a) [AB] er diameter i en sirkel med senter O. X er et punkt på sirkelbuen, og [AX] er tegnet og forlenget til Y, slik at OX = XY. Vis at vinkel YOB er nøyaktig tre ganger større enn vinkel XOY.
b) Tangenter er tegnet fra et gitt punkt C til en gitt sirkel. Tangentene møter sirkelen i punktene A og B. [XY] er tangent til sirkelen, og møter [AC] i X og [BC] i Y. [XY] kan flyttes langs sirkelbuen mellom A og B. Bevis at trekant XYC har konstant omkrets, uansett hvor tangent [XY] tegnes.
c) To sirkler møter hverandre i punktet B, og [CD] er en felles tangent til de to sirkene. [DA] er diameter i den ene sirkelen. Vis at A, B, C er kolineære (ligger på en rett linje som går igjennom punktene.)
d) To sirkler møter hverandre ved A og D. Tangenten ved A på den ene sirkelen kutter den andre sirkelen ved B. Et punkt C er tegnet på buen mellom B og D. Linjestykket [CD] er forlenget til E på den andre sirkelbuen. Vis at [AE] er parallell med [BC]
e) A, B og C er punkter på en sirkel. Tangentene ved A, B og C møter linjestykkene [CB], [AC] og [AB], som hver kutter de forestående tangentene ved D, E og F som vist på illustrasjonen.
I: Vis at [tex]\frac{DB}{DC} = \frac{AB^2}{AC^2}[/tex]
II: Vis at D, E og F er kolineære.
Ymse sirkelgeometrioppgaver
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
A)
Definer:
[tex]u=\angle XAB, v=\angle XOB,\alpha=\angle XOY, \beta=\angle YOB[/tex]
Vi har:
[tex]2v=u[/tex] (periferivinkler)
[tex]\alpha + \beta = v[/tex]
[tex]u+2\beta+180-v=180[/tex] (vinkelsum i trekant AYO)
Som med rask regning gir [tex]\alpha=3\beta[/tex]
Definer:
[tex]u=\angle XAB, v=\angle XOB,\alpha=\angle XOY, \beta=\angle YOB[/tex]
Vi har:
[tex]2v=u[/tex] (periferivinkler)
[tex]\alpha + \beta = v[/tex]
[tex]u+2\beta+180-v=180[/tex] (vinkelsum i trekant AYO)
Som med rask regning gir [tex]\alpha=3\beta[/tex]
B)
Definer:
[tex]S[/tex]: sentrum i sirkelen
[tex]r[/tex]: Radius i sirkelen
[tex]P[/tex]: Tangeringspunktet for [tex]XY[/tex]
Da er:
[tex]SA=SP=r[/tex]
[tex]\angle SAX=\angle SPX =90^\circ[/tex]
som gir:
[tex]AX=PX[/tex]
Tilsvarende får vi:
[tex]BY=YP[/tex]
Omkretsen til [tex]\triangle CXY[/tex] blir nå:
[tex]CX+XP+PY+YC=CX+AX+BY+YC=AC+BC=konst.[/tex]
Definer:
[tex]S[/tex]: sentrum i sirkelen
[tex]r[/tex]: Radius i sirkelen
[tex]P[/tex]: Tangeringspunktet for [tex]XY[/tex]
Da er:
[tex]SA=SP=r[/tex]
[tex]\angle SAX=\angle SPX =90^\circ[/tex]
som gir:
[tex]AX=PX[/tex]
Tilsvarende får vi:
[tex]BY=YP[/tex]
Omkretsen til [tex]\triangle CXY[/tex] blir nå:
[tex]CX+XP+PY+YC=CX+AX+BY+YC=AC+BC=konst.[/tex]
C)
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i den store sirkelen
[tex]R:[/tex] Radius i den store sirkelen
[tex]T:[/tex] Sentrum i den lille sirkelen
[tex]r:[/tex] Radius i den lille sirkelen
Følgende punkter på [tex]AD[/tex]:
[tex]Q:[/tex] normalen fra B på [tex]AD[/tex]
[tex]V:[/tex] normalen fra T på [tex]AD[/tex]
Og til slutt:
[tex]P:[/tex] normalen fra B på [tex]TV[/tex]
Vil vise kolinearitet ved å vise (Lign.1):
[tex]\frac{AQ}{QB}=\frac{AD}{CD}[/tex]
Finner QB:
Ser på [tex]\triangle TBP[/tex] og [tex]\triangle SBQ[/tex] og får:
[tex]\frac{BT}{PT}=\frac{SB}{QB} \Rightarrow \frac{r}{CD-QB}=\frac{R}{QB}[/tex]
[tex] QB=\frac{CD}{1+\frac{r}{R}}[/tex]
Finner AQ:
Ser igjen på [tex]\triangle TBP[/tex] og [tex]\triangle SBQ[/tex] og får:
[tex]\frac{SQ}{SR}=\frac{QV}{RT} \Rightarrow \frac{SQ}{R}=\frac{R-r-SQ}{r}[/tex]
[tex] AQ=SQ+R=\frac{2R}{1+\frac{r}{R}}[/tex]
Da kan vi sette inn i Lign.1 fra over og får:
[tex]\frac{AQ}{QB}=\frac{AD}{CD} \Rightarrow \frac{\frac{2R}{1+\frac{r}{R}}}{\frac{CD}{1+\frac{r}{R}}}=\frac{2R}{CD}=\frac{AD}{CD}[/tex]
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i den store sirkelen
[tex]R:[/tex] Radius i den store sirkelen
[tex]T:[/tex] Sentrum i den lille sirkelen
[tex]r:[/tex] Radius i den lille sirkelen
Følgende punkter på [tex]AD[/tex]:
[tex]Q:[/tex] normalen fra B på [tex]AD[/tex]
[tex]V:[/tex] normalen fra T på [tex]AD[/tex]
Og til slutt:
[tex]P:[/tex] normalen fra B på [tex]TV[/tex]
Vil vise kolinearitet ved å vise (Lign.1):
[tex]\frac{AQ}{QB}=\frac{AD}{CD}[/tex]
Finner QB:
Ser på [tex]\triangle TBP[/tex] og [tex]\triangle SBQ[/tex] og får:
[tex]\frac{BT}{PT}=\frac{SB}{QB} \Rightarrow \frac{r}{CD-QB}=\frac{R}{QB}[/tex]
[tex] QB=\frac{CD}{1+\frac{r}{R}}[/tex]
Finner AQ:
Ser igjen på [tex]\triangle TBP[/tex] og [tex]\triangle SBQ[/tex] og får:
[tex]\frac{SQ}{SR}=\frac{QV}{RT} \Rightarrow \frac{SQ}{R}=\frac{R-r-SQ}{r}[/tex]
[tex] AQ=SQ+R=\frac{2R}{1+\frac{r}{R}}[/tex]
Da kan vi sette inn i Lign.1 fra over og får:
[tex]\frac{AQ}{QB}=\frac{AD}{CD} \Rightarrow \frac{\frac{2R}{1+\frac{r}{R}}}{\frac{CD}{1+\frac{r}{R}}}=\frac{2R}{CD}=\frac{AD}{CD}[/tex]
D)
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i den store sirkelen
[tex]T:[/tex] Sentrum i den lille sirkelen
Ta hensyn til likebente trekanter (pga to vinkelben tilsvarende radius i en av sirklene) og definer følgende vinkler:
[tex]u=\angle TAE =\angle TEA[/tex]
[tex]v=\angle TAD =\angle TDA[/tex]
[tex]w=\angle TED =\angle TDE[/tex]
[tex]x=\angle SBC =\angle SCB[/tex]
[tex]y=\angle SCD =\angle SDC[/tex]
[tex]z=\angle SAD =\angle SDA[/tex]
Og til slutt definer:
[tex]\beta=\angle SAB =\angle SAB[/tex]
Vil vise [tex]BC \parallel AE[/tex] ved å vise at:
[tex]\angle ABC=180-\angle BAE[/tex]
Betrakter så firkant [tex]ABCD[/tex] og får:
[tex]2(x+y+z)-2\beta=360^\circ[/tex]
For [tex]\triangle ADE[/tex] fås tilsvarende:
[tex]2(u+v+w)=180^\circ[/tex]
For [tex]\angle CDE[/tex] har vi:
[tex]\angle CDE=180^\circ=y+z+v+w \Rightarrow v+w=180^\circ-(y+z)[/tex]
Så kombineres de tre siste ligningene som gir:
[tex]\angle ABC=x-\beta=180^\circ-(y+z) = v+w=90^\circ-u=180^\circ-(90^\circ+u)=180^\circ-\angle BAE[/tex]
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i den store sirkelen
[tex]T:[/tex] Sentrum i den lille sirkelen
Ta hensyn til likebente trekanter (pga to vinkelben tilsvarende radius i en av sirklene) og definer følgende vinkler:
[tex]u=\angle TAE =\angle TEA[/tex]
[tex]v=\angle TAD =\angle TDA[/tex]
[tex]w=\angle TED =\angle TDE[/tex]
[tex]x=\angle SBC =\angle SCB[/tex]
[tex]y=\angle SCD =\angle SDC[/tex]
[tex]z=\angle SAD =\angle SDA[/tex]
Og til slutt definer:
[tex]\beta=\angle SAB =\angle SAB[/tex]
Vil vise [tex]BC \parallel AE[/tex] ved å vise at:
[tex]\angle ABC=180-\angle BAE[/tex]
Betrakter så firkant [tex]ABCD[/tex] og får:
[tex]2(x+y+z)-2\beta=360^\circ[/tex]
For [tex]\triangle ADE[/tex] fås tilsvarende:
[tex]2(u+v+w)=180^\circ[/tex]
For [tex]\angle CDE[/tex] har vi:
[tex]\angle CDE=180^\circ=y+z+v+w \Rightarrow v+w=180^\circ-(y+z)[/tex]
Så kombineres de tre siste ligningene som gir:
[tex]\angle ABC=x-\beta=180^\circ-(y+z) = v+w=90^\circ-u=180^\circ-(90^\circ+u)=180^\circ-\angle BAE[/tex]
E.I)
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i sirkelen
[tex]u=\angle ASB[/tex]
[tex]v=\angle CSB[/tex]
Fra de likebeinte [tex]\triangle ASB[/tex], [tex]\triangle CSB[/tex] og [tex]\triangle ASC[/tex] fås:
[tex]\angle SAB=\angle SBA=90^\circ-\frac{u}{2}[/tex]
[tex]\angle SBC=\angle SCB=90^\circ-\frac{v}{2}[/tex]
[tex]\angle SAC=\angle SCA=90^\circ-\frac{u+v}{2}[/tex]
Så regner vi ut noen vinkler vi skal bruke:
[tex]\angle CAD=90^\circ-\angle SAC=\frac{u+v}{2}[/tex]
[tex]\angle BAD=90^\circ-\angle SAB= \frac{u}{2}[/tex]
[tex]\angle ACB=\angle SCB-\angle SCA= \frac{v}{2}[/tex]
[tex]\angle ABC=\angle SBA+\angle SBC=180^\circ-\frac{u+v}{2}[/tex]
Så regner vi ut arealet av [tex]\triangle ABC[/tex] på to måter og bruker vinkler vi har funnet over:
[tex]\frac{1}{2} AC \cdot BC \sin(\angle ACB)=\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC)[/tex]
[tex]\frac{sin(\frac{u}{2})}{sin(\frac{u+v}{2})}=\frac{AB}{AC}[/tex]
Til slutt bruker vi at
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{Areal(DBA)}{Areal(DCA)}[/tex]
og får ved å regne ut arealene:
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{1}{2}AD \cdot AB sin(\frac{u}{2})}{\frac{1}{2}AD \cdot AC sin(\frac{u+v}{2})}[/tex]
setter inn tidligere resultat for brøken av sinusuttrykk
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AB sin(\frac{u}{2})}{AC sin(\frac{u+v}{2})}=\frac{AB^2}{AC^2}[/tex]
Definer:
[tex]S:[/tex] Sentrum i sirkelen
[tex]u=\angle ASB[/tex]
[tex]v=\angle CSB[/tex]
Fra de likebeinte [tex]\triangle ASB[/tex], [tex]\triangle CSB[/tex] og [tex]\triangle ASC[/tex] fås:
[tex]\angle SAB=\angle SBA=90^\circ-\frac{u}{2}[/tex]
[tex]\angle SBC=\angle SCB=90^\circ-\frac{v}{2}[/tex]
[tex]\angle SAC=\angle SCA=90^\circ-\frac{u+v}{2}[/tex]
Så regner vi ut noen vinkler vi skal bruke:
[tex]\angle CAD=90^\circ-\angle SAC=\frac{u+v}{2}[/tex]
[tex]\angle BAD=90^\circ-\angle SAB= \frac{u}{2}[/tex]
[tex]\angle ACB=\angle SCB-\angle SCA= \frac{v}{2}[/tex]
[tex]\angle ABC=\angle SBA+\angle SBC=180^\circ-\frac{u+v}{2}[/tex]
Så regner vi ut arealet av [tex]\triangle ABC[/tex] på to måter og bruker vinkler vi har funnet over:
[tex]\frac{1}{2} AC \cdot BC \sin(\angle ACB)=\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC)[/tex]
[tex]\frac{sin(\frac{u}{2})}{sin(\frac{u+v}{2})}=\frac{AB}{AC}[/tex]
Til slutt bruker vi at
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{Areal(DBA)}{Areal(DCA)}[/tex]
og får ved å regne ut arealene:
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{1}{2}AD \cdot AB sin(\frac{u}{2})}{\frac{1}{2}AD \cdot AC sin(\frac{u+v}{2})}[/tex]
setter inn tidligere resultat for brøken av sinusuttrykk
[tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AB sin(\frac{u}{2})}{AC sin(\frac{u+v}{2})}=\frac{AB^2}{AC^2}[/tex]