matematikk.net

Siden 37 er et primtall er dette en gyldig måte å gjøre det på.

Carve skrev: Litt usikker på overgangen fra [tex](a-b)(a+b) = 37 = 37\cdot 1[/tex] og videre... Tror ikke dette er helt gyldig...

Det tror jeg! Ettersom svarene vi søker er heltall, og 37 er et primtall.

Alle oppgavene må løses! *Svinger pisken*

5
1.5x = x + 1.5
0.5x = 1.5
x = 3

3 + 1.5 = 4.5
3 x 1.5 = 4.5

7
Bonden har sauer, geiter og hester.
I) Antall dyr unntatt sauene er 3 stk: H + G = 3
II) Antall dyr unntatt geitene er 4 stk: S + H = 4
III) Antall dyr unntatt hestene er 5 stk: S + G = 5

I) G = 3-H
Setter dette inn i III:
III) S + (3-H) = 5
S = 2+H
Setter dette inn i II:
2+H+H = 4
H = 1
Dermed er det enkelt å finne at
G = 2 og S = 3.

8
Vi skal finne 4 tall som oppfyller
(*) [tex]x+y+z+u = 45[/tex]
og som har forholdene:
[tex]x-2 = y+2 = 2z = \frac{u}{2}[/tex]

Vi finner y uttrykt ved alle de andre variablene:
[tex]x = y+4[/tex]
[tex]z = \frac{y}{2} +1[/tex]
[tex]u = 2y + 4[/tex]

Setter dette inn i (*), og får at
y = 8
De andre finner vi fort nå:
x = 12, z = 5, u = 20. Summen av disse blir 45.

9
x: alder til storebror nå
y: alder til lillebror nå

For 2 år siden var de henholdsvis (x-2) og (y-2) år, og siden storebror var 3 ganger så gammel, skrives dette som:
x-2 = 3(y-2)
x-2 = 3y-6

Om 3 år er de (x+3) og (y+3) år, og storebror er 2 ganger så gammel.
x+3 = 2(y+3)
x+3 = 2y+6

Får x alene og setter det inn i den andre. Vips:
x = 17 og y = 7.


10
Siden husnummerne er omvendte, består de av to siffere eller mer. Vet ikke om noen regneteknikk man kan benytte her, men hvis vi setter inn fra og med 12, ser vi et mønster:
21-12 = 9
31-13 = 18
41-14 = 27
-[ 9 gangeren! ]-
91-19 = 72

Og disse husnummerne gir oss det minste tallet med differens som ender på 2.

13
Middag der alle bestiller det samme og de får en regning på 4411.
Det må være et helt antall personer, og prisen var et helt tall. Vi ser på primtallsfaktoriseringen til 4411:
11 * 401 = 4411.
Det var 11 stk som spiste en rett til 401kr. (Eller 401 stk som spiste en rett til 11 kr).

15
Vet ikke om noen teknikker man kan bruke her heller. Men, da jeg prøvde meg frem startet jeg med:
12+34+56+7 = 109
Dette er 9 fra målet, og ser at hvis vi deler opp 12 til 1+2 så er vi i mål...
1+2+34+56+7 = 100

16
Maleren skal ha en blanding på 6 liter der 4 liter er hvitt og 2 liter er sort. Han blander feil og har 4 liter svart og 2 liter hvitt. Hvis han heller ut 3 liter, så sitter han på en blanding som tilsvarer 2 liter svart og 1 liter hvitt. Hvis han nå fyller på 3 liter med hvitt, så er han i mål.

3 liter er minimum som må tømmes.

17
Vi har tre byer: B, U og D Strekningen mellom B og U er x etc.

Vi får vite i oppgaveteksten at turen fra B til U via D (eller B til D til U) er 8 km. Fra kongekartet jeg tegnet tilsvarer dette (og de andre som oppgis):
z + y = 8
z + x = 7
x + y = 11

Vanlig ligningssystem, som gir oss svarene:
y = 6, x = 5 og z = 2

20
Uff. Nok en gang med å prøve seg frem...
Tall som kan snus opp ned er tall som består av 0, 1, 6, 8 og 9. 0 kan ikke være det siste tallet. Jeg tok utgangspunkt i alle tall med disse verdiene og adderte 12 for å se om jeg fikk et nytt tall med samme siffere. Etter å ha jobbet som en slave med 13 addisjoner fikk jeg 86 + 12 = 98 og voila... Newton hadde nok vært stolt av meg.

Nå er det vel bare 22 og 23 som gjenstår?

Ups! Quotet meg selv i stedet for å endre posten.

Vet ikke helt om dette er en gyldig løsning, men prøver meg likevel:
Oppgave 10:
Vi vet at minst et av tallene må ha fler enn et siffer, hvis ikke ville vi ikke fått en differanse. For alle tall modulo 10 vil resten være uavhengig av alle siffer det inneholder bortsett fra det siste.
Vi vet derfor at det er kun det første og det siste tallet i husnumrene som har innvirkning på det siste tallet i differansen, da alle tall, bortsett fra det siste(og første i dette tilfellet når det snus), alltid blir ganget med 10 i en eksponent høyere enn 0.
Ut ifra dette kan vi slå fast at dersom det finnes løsninger til oppgaven, vil de minste finnes i intervallet [0,99]

Vi har fått vite at:

[tex]a10^1+b10^0=b10^1+a10^0+l[/tex]
der
[tex]l \equiv 2 \pmod {10}[/tex]
Hvis vi regner ut a og b på venstre side, får vi
[tex]9(a-b)\equiv 2 \pmod {10}[/tex]
[tex](-1)(a-b)\equiv 2 \pmod {10}[/tex]
[tex]a-b\equiv -2 \pmod {10} [/tex]
Vi er nå ute etter å finne tallene som oppfyller dette, og vi bruker derfor at
[tex]a-b=-2+10k[/tex]
Vi vet at husnumrene alltid er positive heltall og at tallene a og b begge må være mellom [0,9]
Vi vet også fra starten at a>b, for vi la til differansen på høyre side av likhetstegnet hvor tallet var snudd. Så a-b må være større enn 0, men også mindre enn 10 for at b ikke skal være et negativt tall når vi allerede vet at a<10. Det vi nå ser, er at ingen andre verdier for k enn 1 gir at 0 < a-b < 10, som jo oppfyller kriteriene vi nettopp nevnte. Så vi setter at k=1 og får at a-b=8.

[tex]a=8+b[/tex]
De hele tallene b som oppfyller a<10 er 0 og 1. b kan ikke være negativ.
Derfor har vi 2 løsninger av oppgaven i intervallet først nevnt.
Den ene er når [tex]b_1=0,a_1=8+b_1=8[/tex]
Den andre er [tex]b_2=1,a_2=8+b_2=9[/tex]

[tex]10a_1+b_1=80[/tex]
[tex]10a_2+b_2=91[/tex]
Vi tar utgangspunkt i at begge tallene MÅ ha samme antall gjeldende sifre for at de gyldig kan snus begge veier, noe som gir oss at de minste tallene er husnumrene 91 og 19 som begge har 2 gjeldende sifre.

Magnus skrev:

Carve skrev: Litt usikker på overgangen fra [tex](a-b)(a+b) = 37 = 37\cdot 1[/tex] og videre... Tror ikke dette er helt gyldig...

Det tror jeg! Ettersom svarene vi søker er heltall, og 37 er et primtall.

Jeg var enig i dette hele veien, men nå fikk jeg en liten tvil. Hva om a-b = -37 og a+b = -1 ?

Realist1 skrev: Jeg var enig i dette hele veien, men nå fikk jeg en liten tvil. Hva om a-b = -37 og a+b = -1 ?

Hadde det ikke vært litt rart om en bonde hadde negativt område å dyrke kål på?

Her er svarene hvis dere lurer:
http://dvyjones.co.nr/svar-pa-oppgaver/