matematikk.net

Et 2 meter langt elastisk bånd er festet til en vegg i ene enden. På den andre enden står et insekt. Hvert minutt blir båndet strukket slik at det blr 1 meter lenger. Strekket er helt uniformt over hele båndet. Deretter beveger insektet seg 1 meter mot den festede enden. Anta at båndet aldri vil ryke. Vil insektet klare å komme seg hele veien til veggen?

Når båndet strekker seg, vil det så bli slakt? Altså, når det strekker seg en meter, så vil enden av tauet og insektet være på samme plass, bare at det er slakt?

Strekket er uniformt. Så hvis insektet har gått en lengde om tilsvarer 40% av lengden av båndet, vil det etter strekket fremdeles befinne seg på et punkt som tilsvarer 40% av båndlengden.

Ja, men det tar litt tid.. Mener jeg nå i hvert fall å huske fra da den stod i 3MX-boka.

Magnus skrev:Ja, men det tar litt tid.. Mener jeg nå i hvert fall å huske fra da den stod i 3MX-boka.

Bevisteknikk nr. 112: "Det er sant fordi det har blitt vist før. QED."
(Også kalt: "The proof is left to the reader as en exercise")

Jeg vil se noen tall og en utregning

Vi kan jo lage et par litt spennende ekstraoppgaver og:

1) Hvert minutt går insektet en tilfeldig lengde i intervallet [0, 2] meter, distribuert med uniform sannsynlighet. Hva er forventningsverdien for tiden den kommer til å bruke før den når fram?

2) Hvert minutt går insektet en tilfeldig lengde i intervallet [0, a] Finn a slik at forventningsverdien blir 15 minutter.

daofeishi skrev:Bevisteknikk nr. 112: "Det er sant fordi det har blitt vist før. QED."
(Også kalt: "The proof is left to the reader as en exercise")

Dette beviset for setning 1.17 (som består av del i) og ii)) står i boka mi:
i) is trivial, and ii) follows from i). Enklere blir det ikke.

Forventningsverdiene overlater jeg til noen andre.

Her viser jeg at den kommer fram! (hooray!)

La oss definere [tex]a_n[/tex] som avstanden til enden etter strekk nummer [tex]n[/tex]. Vi ser at:

[tex]a_0 = 2[/tex]
[tex]a_1 = 2 + 1 - 1 = 2[/tex]
[tex]a_2 = 2\cdot\frac{4}{3} - 1[/tex]
[tex]a_n = a_{n-1}\cdot\frac{n+1}{n} - 1[/tex]

-->

[tex]a_n = (a_{n-2}\cdot\frac{n}{n-1} -1)\cdot \frac{n+1}{n} - 1 = (a_{n-2}\cdot\frac{n+1}{n-1}- \frac{n+1}{n} -1 ) = 0[/tex]

Den er 0 når vi er framme. Deler på n+1 på begge sider og får:

[tex]0 = a_{n-2}\cdot\frac{1}{n-1} - \frac {1}{n} - \frac{1}{n+1} = (a_{n-3}\cdot\frac{n-1}{n-2} -1)\frac{1}{n-1} - \sum_{i=n}^{n+1}\frac{1}{i} = a_{n-3}\cdot\frac{1}{n-2} - \sum_{i=n-1}^{n+1}\frac{1}{i}[/tex]

Holder vi på sånn en fin stund får vi jo

[tex] 0 = a_0\cdot\frac{1}{1} - \sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}[/tex], hviket gir at [tex]3 = \sum_{i=1}^{n+1}\frac {1}{i}[/tex], hvilket vil skje for en [tex]n[/tex] da den harmoniske rekka som kjent divergerer.