Side 1 av 1
Oppgave
Lagt inn: 07/10-2007 20:32
av Sonki
en litt morsom oppgave jeg fant
Hva er summen av de reelle røttene til
[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]
den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da
Lagt inn: 07/10-2007 21:39
av =)
røttene? jeg finner bare én reell rot.
kanskje du mener
[tex]x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0[/tex]?
(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)
Lagt inn: 07/10-2007 22:08
av Mayhassen
Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?
Lagt inn: 07/10-2007 22:11
av =)
det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon
Lagt inn: 07/10-2007 22:58
av Mayhassen
Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?
Lagt inn: 07/10-2007 22:59
av Charlatan
Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:
[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]
Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).
Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]
De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.
Kan uansett lage en regel:
For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba
Altså:
[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]
Dette er med imaginære røtter da.
Lagt inn: 08/10-2007 11:18
av Magnus
For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.
Lagt inn: 08/10-2007 11:27
av Mayhassen
Akkurat
Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag
Lagt inn: 08/10-2007 14:37
av Sonki
Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne
Lagt inn: 14/10-2007 23:12
av mrcreosote
Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.
Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?
Lagt inn: 15/10-2007 12:36
av =)
hint(?):
[tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
Lagt inn: 19/10-2007 01:41
av Carve
[tex]x^3 - 3x^2 + 3x + 1[/tex] = [tex]x^3 - 3x + 3x^2 - 1 +2[/tex]
= [tex](x-1)^3+2=0[/tex]
=> x = 1 - 2^(1/3)
Lagt inn: 19/10-2007 08:50
av Sonki
stemmer