Side 1 av 1

Polynomoppgave

Lagt inn: 06/10-2007 07:15
av daofeishi
Bevis at dersom f(x) er et polynom med heltallige koeffisienter, vil f(a+f(a)) være et multippel av f(a) for alle heltallige a.

Lagt inn: 06/10-2007 11:39
av mrcreosote
Antar det skal være f(a+f(a)). Denne oppgava er fullt mulig å løse for vgs-elever!

Lagt inn: 06/10-2007 13:19
av daofeishi
Stemmer, stemmer, stemmer. Rettet nå :) Og dette er jo også en fin måte å bevise at det ikke finnes noen polynomer som kan gi kun primtall.

Lagt inn: 23/10-2007 09:41
av TurboN
Heltallsmultippel burde du vel spesifisere. :mrgreen:

Lagt inn: 23/10-2007 10:00
av daofeishi
Slutt å kverulere og løs oppgaven i stedet ;)

Lagt inn: 23/10-2007 20:34
av Ice
Usikker på hvor generell denne løsningen er, men prøver likevel.
Lager en funksjon f(x), forhåpentligvis WLOG ;)

[tex]f(x) = 3x+1[/tex]
[tex]f(a) = 3a+1[/tex]
[tex]f(a+f(a)) = 3(a+f(a))+1 = 3a+3(3a+1)+1[/tex]
[tex] = 12a+4 = 4(3a+1)[/tex]

Og vi er ferdige. 8-)

Lagt inn: 23/10-2007 20:39
av mrcreosote
Hvis W-en din står for with, er det greit...

Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.

Lagt inn: 23/10-2007 20:44
av Ice
mrcreosote skrev:Hvis W-en din står for with, er det greit...

Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.
hmmm, var et håp om at det var "without", men det får være.
Med den summen du skriver der., sliter jeg litt med å forstå hvordan jeg
skal skrive den. Lurer f.eks på hvorfor a også endrer seg, er ikke det en konstant..?
Kan du bare gi et eksempel hvis n=2, ;) ?

Lagt inn: 23/10-2007 20:59
av mrcreosote
(Jeg bytter ut a_i-ene med c_i, kan kanskje bli litt rotete.)

[tex]f(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i [/tex] er bare en komprimert måte å skrive [tex]f(x)=c_0+c_1x+\dots+c_nx^n[/tex] på.

Vi har nå at [tex]f(a) = \sum_{i=0}^nc_ia^i = c_0+c_1a+\dots+c_na^n[/tex]. Hva er f(a+f(a))? Regn ut. Klarer du å faktorisere ut f(a) fra dette er du i mål!

Er ikke noen grunn til å gjøre det eksplisitt for n=2, virker som du har forstått prinsippene og hva du skal gjøre. Knot litt med bokstavene nå og se om det ikke blir bra.

Lagt inn: 23/10-2007 21:02
av arildno
Husk at enhver potens of f(a) har seg selv som faktor..