Rutenett

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Rutenett

Innlegg mrcreosote » 05/10-2007 17:55

Et 2n ganger 2n rutenett er nummerert fra 1 til 4n² ved å skrive 1 øverst til venstre og så følge rada bortover til 2n øverst til høyre, deretter 2n+1 i første kolonne i andre rad,...,4n i siste kolonne andre rad osv. For n=2:

1,2,3,4
5,6,7,8
9,10,11,12
13,14,15,16

Fargelegg halvparten av rutene svarte og den andre halvparten hvite på en slik måte at hver rad og hver kolonne inneholder like mange svarte og hvite ruter. Vis at summen av talla i de svarte rutene er lik summen av talla i de hvite rutene.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg sEirik » 05/10-2007 17:57

Voldsomt så ivrig du var på å poste nøtter i dag :P
Er det høstkolleksjonen som er ankommet?
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 05/10-2007 18:07

Ja, det var de relativt tøffe nøtteskjortene som kom i dag, så jeg ville dele med folket. Jeg er ferdig nå.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 06/10-2007 05:04

Det er flott, mrcreosote. Det trengs litt arbeid for å få nøtter på moten.



Jeg prøver meg på en løsning. Dette blir fort og gæli, jeg håper det jeg skriver er noenlunde forståelig:

Vi skal bare ta for oss de svarte rutene. Navngi hver kolonne på brettet, fra venstre mot høyre, [tex]x_1, \ ... \ x_{2n}[/tex] og hver rad, ovenfra og ned, [tex]y_1, \ ... \ y_{2n}[/tex].

Vi skal nå innføre det vi kaller en rutes krysningskoordinat: Hver rute er entydig bestemt av et ordnet par [tex](x_i, \ y_j)[/tex].

På et brett med (2n)*(2n) (hvite) ruter skal vi da plassere ut [tex]2n^2[/tex] svarte ruter. Vi konstruerer mengden med krysningskoordinatene for de svarte rutene, S.

Siden hver rad og kolonne skal inneholde like mange hvite og svarte ruter, betyr det at hver [tex]x_i[/tex] og [tex]y_i[/tex] vil finnes i nøyaktig n av krysningskoordinatparene i mengden S.

Vi skal nå gi en verdi til hver av [tex]x_i[/tex] og [tex]y_i[/tex], notert [tex]|x_i|[/tex] og [tex]|y_i|[/tex], slik at verdien av en rute [tex]|(x_i, \ y_j)|[/tex] er gitt av summen av verdiene til krysningskoordinatene. Altså: [tex]|(x_i, \ y_j)| = |x_i| + |y_j|[/tex]

Dette skjer dersom hver av [tex]x_1, \ ... x_{2n}[/tex] får verdiene 1, 2 ... 2n og hver av [tex]y_1, \ ... \ y_n[/tex] får verdiene 0, 2n, 4n, ..., 2n(2n-1).

Den totale verdien av de svarte rutene blir da:

[tex]\sum _{x \in S} |x| \qquad = \qquad n\left(\sum_{i = 1} ^{2n} |x_i| + \sum_{j=1}^{2n} |y_j| \right)[/tex]

Og denne summen er konstant! Argumentet generaliserer dersom du erstatter "svart" med "hvit" i argumentet over, og siden summen over alle rutene i brettet er konstant, betyr det at summen av verdiene i de hvite rutene er lik summen av verdiene i de svarte rutene.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg mrcreosote » 06/10-2007 10:31

Jada, nøtter er alltid moro. Jeg har kikka litt på dine også, særlig den med 7 og 0 er stilig. Det er også noen polynomoppgaver spredd over forumet, hvor henter du disse fra?

Jeg hadde omtrent samme idé som deg:

Del rutenettet opp i to rutenett som for n=2 ser slik ut:

0000
4444
8888
12121212

og

1234
1234
1234
1234

Summen av disse blir det originale brettet, og hvis vi teller den svarte radsummen langs det første og kolonnesummen langs det andre ser vi at hver av disse er konstante og uavhengig av valg.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg daofeishi » 06/10-2007 12:25

Holder på med primtallsoppgaven din nå, men jeg har ennå ikke funnet noen belysende transformeringer av likningen. En del av oppgavene jeg har posta er henta fra oppgavesamlinga i Paul Zeitz' "The Art and Craft of Problem Solving," som forøvrig er en helt super bok for teknikker til bruk i problemløsing.

Keep 'em coming :D
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 43 gjester

cron