matematikk.net

Tenk deg at du har følgende integral:

[tex]\int \sqrt{1-\sin^2(x)} \rm{d}x[/tex]

Hvis du har et visst kjennskap til trigonometiske identiteter og kalkulus, kan det godt hende du tenker: "Jammen, så enkelt! Det gjør vi slik:"

[tex]\int \sqrt{1-\sin^2(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{\cos^2(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \cos(x) \rm{d} x \qquad = \qquad \sin(x) + C[/tex]

Tenkte du slik? Det er nemlig feil! Grunnen er kvadratrotfunksjonen - tar du kvadratroten av et positivt tall ender du opp med et positivt tall, åkke som.

For å gjøre det veldig visuelt kan vi jo grafe [tex]\sqrt{\cos^2(x)}[/tex] (rød) mot [tex]\cos(x)[/tex] (grønn).



For [tex]\sqrt{\cos^2(x)}[/tex] er området under grafen alltid positivt, mens det for [tex]\cos(x)[/tex] er negativt i området fra [tex]\frac \pi 2[/tex] til [tex]\frac{3 \pi}{2}[/tex].

Det rette uttrykket er: [tex]\sqrt{\cos^2(x)} = |\cos(x)|[/tex]
der |x| er absoluttverdien av x - som er definert som x dersom x er positiv og -x dersom x er negativ.

Plotter du denne funksjonen, ser den selvsagt slik ut:




Så la oss utforske denne absoluttverdifunksjonen litt. Vi benytter oss av og til av at[tex]|x| \equiv \sqrt{x^2}[/tex]

a) Bruk kjerneregelen til å finne derivatet av |x|. Hva skjer med tangenten til grafen når x = 0?

b) Bevis at [tex]\int |x| \rm{d}x = \frac{1}{2}|x|x + C[/tex]

c) Finn derivatene til:
[tex]f(x) = \cos(|x|)[/tex]
[tex]f(x) = |\cos(x)|[/tex]
[tex]f(x) = e^{\sqrt{1-\sin^2(x)}}[/tex]

d) Bevis det følgende:
[tex]\int |\cos(x)| \rm{d}x = |\cos(x)|\tan(x) + C \\ \int |\sin(x)| \rm{d}x = \frac{|\sin(x)|}{\tan(x)} + C[/tex]

e) Finn integralene:
[tex]\int \sin(|x|) \rm{d}x \\ \int |\cos(x) - \sin(x)| \rm{d}x[/tex]


Hvis du har lyst, kan du benytte deg av at [tex]\frac{|x|}{x} \equiv \rm{sgn}(x)[/tex], der sgn(x) er den såkalte signumfunksjonen, som er -1 dersom x er negativ, 1 dersom x er positiv og 0 dersom x er 0.

Jeg kan jo prøve meg på a først:

[tex]u=x^2[/tex] [tex] u^\prime=2x[/tex]

[tex](|x|)^\prime=\frac{1}{2\sqrt u}\cdot u^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{|x|}[/tex]

Tangentligninga skal ha stigningstall, dette er x=0 for den deriverte, hvis jeg prøver å sette inn x=0 får jeg 0/0 og det går ikke. Er det da man kan si at funksjonen er diskontinuerlig i x=0?

psst: må jeg bruke delvis integrasjon på b)?

Litt smart bruk av delvis integrasjon hjelper på b, ja

Flott arbeid sålangt

Husk også at [tex]\frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x}[/tex]

Siden jeg ikke har hatt så mye integrasjon enda prøver jeg meg på c), begynner hvertfall..

Tar litt sjanser her, siden jeg føler egentlig at dette er litt over mitt nivå

Jeg tar sjansen på at jeg ar lov til å si at cos(|x|)=|cos(x)|, slik at jeg kan bruke:
[tex]|\cos(x)|=\sqrt{\cos^2(x)[/tex]

[tex]u=\cos^2(x)[/tex] [tex]u^\prime=-2\sin(x)\cos(x)[/tex]

[tex]\sqrt{\cos^2(x)}^\prime=\sqrt{u}^\prime=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^\prime=\frac{1}{2\sqrt{cos^2(x)}}\cdot -2\sin(x)\cos(x)=\frac{-\sin(x)\cos(x)}{\cos(|x|)} [/tex]

Jeg satt også her x=0 i den deriverte for å undersøke om den eksisterte i "knekkpunktene" man ser i grafen over. Satt inn og jeg får 0/1 som er 0. Litt interessant å se på dette, vil det si at den eksisterer? Hvis jeg ser på grafen over ville jeg jo nesten tro at den deriverte ville fått en vertikal asymptote hver 90. grad, men da gjør den vel bare et hopp hver 90. grad

:edit:
Så nå at du også spurte etter deriverte av |cos(x)|, antar da at jeg ikke kunne gjøre den omskrivinga i starten.. Da har jeg løst den ene uansett da kanskje hehe

Mayhassen skrev:Tar litt sjanser her, siden jeg føler egentlig at dette er litt over mitt nivå

Kjempeflott! Slikt lærer man masse av!

Du har nok forstått at [tex]|\cos(x)| \neq \cos(|x|)[/tex]
Dette kan du f.eks. se ved å sammenlikne:
[tex]\cos(|\pi|) = -1 \\ |\cos(\pi)| = 1[/tex]

Men du har løst den andre c-oppgaven rett! (bare vær obs på punktet over)

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x} |\cos(x)| = -\frac{\sin(x)\cos(x)}{|\cos(x)|} = -\frac{\sin(x)|\cos(x)|}{\cos(x)} = - |\cos(x)| \tan(x)[/tex]


Klarer du kanskje å bevise at [tex]\frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|}[/tex] også?

Ja, skjønte at [tex]|\cos(x)| \neq \cos(|x|) [/tex] rett etter jeg hadde postet og så neste oppgave. Tok så kjapt og prøvde med et tall som du også viste.

Jeg har prøvd litt på b nå, men døtte meg, begynner å bli mye kluss i blokka her gitt.. Regner bare i sirkel. Nå kan jeg ikke mange triksa, men har prøvd å gange med 1 og så har jeg prøvd å gange med x/x, men det fører ingen vei ser det ut som. Får lissom ikke den absolutt x'en ut av intgranden eller hva det heter.

Prøvde å bytte teller/nevner slik du kanskje hintet litt om, men akk nei.

Skal se på det beviset, kanskje det går opp et lys

Å gange med 1 er en god idé - prøv igjen!

Du har vist at [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}|x| = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x}[/tex] Det trengs nok.

siden jeg skal bevise [tex]\int |x| \rm{d}x = \frac{1}{2}|x|x [/tex] og ikke får til denne integrasjonen blei jeg så forbanna at jeg deriverte litt istedenfor:

[tex](\frac{1}{2}|x|x)^\prime=\frac{1}{2}|x|\cdot 1+\frac{1}{2}x\cdot\frac{|x|}{x}=|x| [/tex]

Dermed er det bevist

Når det gjelder den integrasjonen sitter jeg helt fast, jeg begynner slik:

[tex]u=|x|[/tex] [tex]u^\prime=\frac{|x|}{x}[/tex]

[tex]v^\prime=1[/tex] [tex]v=x[/tex]

[tex]uv-\int u^\prime v[/tex]

[tex]|x|x-\int \frac{|x|}{x} x[/tex]

Det er nå jeg stopper opp, jeg ville jo tro at jeg må bruke substitusjon her med kjernen x² for å få den halve en eller annen gang, men har prøvd mange måter for å trikse til dette, mesteparten er sikkert så galt at Abel har blitt reint svimmel nedi grava av å snu seg så mye...
Tror nesten jeg må ha no veiledning her gitt..

Prøver meg på resten av c så lenge:

[tex]\cos(|x|) )^\prime=-\frac{|x|}{x}\sin (|x|)[/tex]

[tex](e^{\sqrt{1-\sin^2(x)}} )^\prime=e^{\sqrt{1-\sin^2(x)}}\cdot\frac{-\sin(x)\cos(x)}{\cos(|x|)} [/tex]

Brukte kjerneregel på begge, og kjernen på den siste regnet jeg jo ut i stad.

[tex]I=\int |x| dx = \int \sqrt{x^2}dx [/tex]

[tex]u^\prime=1 \ u = x \\ v=\sqrt{x^2} \ v^\prime = \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2}}{x} \\ I=x\sqrt{x^2}-\int x \cdot \frac{\sqrt{x^2}}{x} dx = x\sqrt{x^2}-\int\sqrt{x^2} dx = x\sqrt{x^2}-I \\ 2I=x\sqrt{x^2} \\ I=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2}[/tex]

Nice! Det der var et skittent triks

Heter integrasjon!

Flott arbeid Mayhassen og Jarle!

Trenger noen hint på d)
Ikke klarer jeg å integrere |cos(x)| eller derivere |cos(x)|tan(x)+C

Nå har jeg gjort et grundig forsøk på å derivere |cos(x)|tan(x) og kommer til følgende:



[tex]-\frac{\tan(x)\cos(x)\sin(x)}{\sqrt{cos^2(x)}}+\sqrt{cos^2(x)}(1+\tan^2(x))[/tex]

Dette skal stemme bra, men problemet mitt er og omskrive dette til å bli |cos(x)| (!)
Har prøvd mange muligheter her nå, har fått repetert sammenhenger mellom cos og sin grundig nå... hjelp