Side 1 av 1

Tallteori: Småsteiner

InnleggSkrevet: 27/09-2007 23:05
Ice
"Småsteiner: Du har et kvadrat med sidelengde 1 meter. Bevis at dersom du plasserer 5 småsteiner i dette kvadratet, vil det finnes 2 steiner som er maksimum [tex]\frac{\sqrt 2}{2} [/tex]meter fra hverandre."

Vi deler kvadratet i fire like store kvadrater med sidelengder 0,5, og i en av rutene må det finnes minst:
[tex] \lceil \frac{5}{4}\rceil = 2 [/tex]
steiner.

Den største mulige avstanden mellom disse to steinene finner vi hvis begge ligger i hvert sitt hjørne, diagonalt ovenfor hverandre. Bruker Pythagoras:

[tex]x^2 = \frac{1}{2}^2 + {\frac{1}{2}}^2 [/tex]

[tex]x = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2} [/tex]

Dette skal vel være riktig?

InnleggSkrevet: 28/09-2007 00:31
Homer
Ja, altså det verste tilfellet er jo når 4 av steinene ligger i hvert sitt hjørne og den siste ligger i sentrum. Og da er avstanden roten av 2 delt på 2. Men en stein har jo utstrekining så egentlig vil vel alltid avstanden være mindre ;)

InnleggSkrevet: 28/09-2007 08:40
mrcreosote
Riktig det, Ice. Oppgava (eller i alle fall ei som ligna veldig) blei gitt i Abelfinalen for 2-3 år siden.

Homer: Forskjellen på en stein og en småstein er at småsteinen ikke har utstrekning.

InnleggSkrevet: 28/09-2007 11:51
Homer
Ok. Takk for informasjonen. Da lærte jeg noe nytt i dag og. Viktig at begrepene sitter.

InnleggSkrevet: 28/09-2007 18:11
Charlatan
Mulig jeg har oversett noe stort noe, men hvorfor er det verste tilfellet at de 4 steinene ligger i et hjørne og den siste i sentrum? hvorfor ikke i det motsatte hjørnet?

InnleggSkrevet: 10/10-2007 15:36
Mayhassen
Enig Jarle10, 2 steiner kan jo fint ha avstand [symbol:rot] 2 her? Bare å legge 4 steiner i et hjørne og den siste i motsatt hjørne. Siden "jeg" skal plassere steinene, altså opp til meg hvordan, vil det aldri være en maks avstand på [symbol:rot] (2)/2 i mitt kvadrat, så det så!

InnleggSkrevet: 10/10-2007 15:51
TrulsBR
Oppgaven sier at dersom vi plasserer 5 steiner, vil det finnes 2 steiner som er maksimum [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter fra hverandre.

Hvis du plasserer 4 steiner sammen, vil disse være mindre enn [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter fra hverandre.

Oppgaven spør derimot ikke om det er mulig å plassere 2 av de fem steinene lengre unna enn [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter

InnleggSkrevet: 10/10-2007 15:52
Sonki
Det de spør om i oppgaven er jo at uansett hvordan du plasserer fem steiner i firkanten, så vil det finnes to steiner som ikke har større avstand enn [symbol:rot] (2)/2. Ifølge eksempelet til Mayhassen vil 4 av steinene ha en avstand fra hverandre som tilsvarer 0 (er i det samme hjørne)[/tex]

InnleggSkrevet: 10/10-2007 15:59
daofeishi
Erstatt "maksimum" med "mindre enn eller lik", så blir det muligens mer forståelig.