Side 1 av 1

Finn alle funksjoner

Lagt inn: 27/09-2007 22:06
av mrcreosote
Finn alle funksjoner f definert på [tex]\mathbb R[/tex] som er slik at

[tex]f(x+y)\leq f(x)+f(y)[/tex] for alle reelle x,y

og

[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}x=1[/tex]

Jeg vil påstå at denne oppgava er noe lettere enn de tidligere funksjonalligningene som ligger ute på forumet.

Lagt inn: 27/09-2007 22:20
av sEirik
Vi begynner med å legge merke til at

[tex]f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0)[/tex]

Altså må [tex]f(0) = 0[/tex]. Vi setter

[tex]f(1) = a[/tex]

Da er [tex]f(2) = f(1+1) = 2f(1) = 2a[/tex]

[tex]f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = 3a[/tex]

og så videre. Vi ser jo (kan også bevises med induksjon) at alle løsninger er lik [tex]f(x) = ax[/tex].

Så er det neste krav,

[tex]\lim_{x \rightarrow} \frac{ax}{x} = 1[/tex]

Som opplagt må bety at [tex]a = 1[/tex].

[tex]f(x) = x[/tex] er eneste løsning.

Hmm, eller nå har jeg kanskje regna som om x hele tiden er et helt tall, det kan jo være det gir feil konklusjon.

Lagt inn: 27/09-2007 22:28
av mrcreosote
Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.

Lagt inn: 27/09-2007 22:45
av arildno
Huff, for en tabbe av meg.. :x

Lagt inn: 27/09-2007 22:53
av arildno
Tja, vi har jo:
[tex]f(x+y)-f(y)\leq{f}(y)[/tex]
Videre, divisjon med x gir:
[tex]\frac{f(x+y)-f(y)}{x}\leq\frac{f(x)}{x}[/tex]
Hvor av følger:
[tex]\frac{df}{dx}\leq{1}[/tex]
for alle x.

Kanskje kan det brukes til noe?

Lagt inn: 27/09-2007 23:17
av sEirik
mrcreosote skrev:Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.
Takk da :P

Lagt inn: 28/09-2007 13:06
av sEirik
Å nei, nå ser jeg det :_P

Jeg har jo lest [tex]\leq[/tex]-tegnet som et =-tegn! Da skjønner jeg hvorfor jeg har fått så rart svar. :P