Finn alle funksjoner f definert på [tex]\mathbb R[/tex] som er slik at
[tex]f(x+y)\leq f(x)+f(y)[/tex] for alle reelle x,y
og
[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}x=1[/tex]
Jeg vil påstå at denne oppgava er noe lettere enn de tidligere funksjonalligningene som ligger ute på forumet.
Finn alle funksjoner
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi begynner med å legge merke til at
[tex]f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0)[/tex]
Altså må [tex]f(0) = 0[/tex]. Vi setter
[tex]f(1) = a[/tex]
Da er [tex]f(2) = f(1+1) = 2f(1) = 2a[/tex]
[tex]f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = 3a[/tex]
og så videre. Vi ser jo (kan også bevises med induksjon) at alle løsninger er lik [tex]f(x) = ax[/tex].
Så er det neste krav,
[tex]\lim_{x \rightarrow} \frac{ax}{x} = 1[/tex]
Som opplagt må bety at [tex]a = 1[/tex].
[tex]f(x) = x[/tex] er eneste løsning.
Hmm, eller nå har jeg kanskje regna som om x hele tiden er et helt tall, det kan jo være det gir feil konklusjon.
[tex]f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0)[/tex]
Altså må [tex]f(0) = 0[/tex]. Vi setter
[tex]f(1) = a[/tex]
Da er [tex]f(2) = f(1+1) = 2f(1) = 2a[/tex]
[tex]f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = 3a[/tex]
og så videre. Vi ser jo (kan også bevises med induksjon) at alle løsninger er lik [tex]f(x) = ax[/tex].
Så er det neste krav,
[tex]\lim_{x \rightarrow} \frac{ax}{x} = 1[/tex]
Som opplagt må bety at [tex]a = 1[/tex].
[tex]f(x) = x[/tex] er eneste løsning.
Hmm, eller nå har jeg kanskje regna som om x hele tiden er et helt tall, det kan jo være det gir feil konklusjon.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.