Finn alle funksjoner

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Finn alle funksjoner f definert på [tex]\mathbb R[/tex] som er slik at

[tex]f(x+y)\leq f(x)+f(y)[/tex] for alle reelle x,y

og

[tex]\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}x=1[/tex]

Jeg vil påstå at denne oppgava er noe lettere enn de tidligere funksjonalligningene som ligger ute på forumet.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Vi begynner med å legge merke til at

[tex]f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0)[/tex]

Altså må [tex]f(0) = 0[/tex]. Vi setter

[tex]f(1) = a[/tex]

Da er [tex]f(2) = f(1+1) = 2f(1) = 2a[/tex]

[tex]f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1) = 3a[/tex]

og så videre. Vi ser jo (kan også bevises med induksjon) at alle løsninger er lik [tex]f(x) = ax[/tex].

Så er det neste krav,

[tex]\lim_{x \rightarrow} \frac{ax}{x} = 1[/tex]

Som opplagt må bety at [tex]a = 1[/tex].

[tex]f(x) = x[/tex] er eneste løsning.

Hmm, eller nå har jeg kanskje regna som om x hele tiden er et helt tall, det kan jo være det gir feil konklusjon.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Huff, for en tabbe av meg.. :x
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Tja, vi har jo:
[tex]f(x+y)-f(y)\leq{f}(y)[/tex]
Videre, divisjon med x gir:
[tex]\frac{f(x+y)-f(y)}{x}\leq\frac{f(x)}{x}[/tex]
Hvor av følger:
[tex]\frac{df}{dx}\leq{1}[/tex]
for alle x.

Kanskje kan det brukes til noe?
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

mrcreosote skrev:Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.
Takk da :P
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Å nei, nå ser jeg det :_P

Jeg har jo lest [tex]\leq[/tex]-tegnet som et =-tegn! Da skjønner jeg hvorfor jeg har fått så rart svar. :P
Svar