Kjempefint, Jarle!
Jeg synes bonusspørsmålet var såpass spennende at jeg prøver meg selv.
Vi ønsker å finne hva sannsynligheten p(n) er for at en n-kortshånd inneholder minst en av hver farge.
La [tex]H_1, \ H_2, \ H_3, \ H_4[/tex] være mengdene med alle n-kortshender uten hjerter, ruter, spar og kløver respektivt. Da er [tex]|H_i| = {39 \choose n}[/tex].
[tex]\bigcup H_i[/tex] er da mengden med alle n-kortshender som mangler ett eller flere kort.
Kardinaliteten av denne mengden er gitt ved inkluderings-/eksklusjonsprinsippet:
[tex]\left| \bigcup H_i \right| = \sum |H_i| - \sum _{i \neq j} |H_i \cap H_j| + \sum _{i \neq j \neq k} |H_i \cap H_j \cap H_k| - |H_1\cap H_2 \cap H_3 \cap H_4| [/tex]
Unionen av 2 av kortmengdene er mengden med alle hender uten 2 kortfarger, og disse mengdene har derfor kardinalitet [tex] {26 \choose n}[/tex]. På samme vis har unionen av 3 kortmengder kardinalitet [tex]{13 \choose n}[/tex] og kardinaliteten til unionen av alle 4 er 0.
Altså: [tex]\left| \bigcup H_i \right| = \sum _{i=1} ^4 (-1)^{i-1} {4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]
Men vi ønsker kardinaliteten til komplementet av denne mengden, som er
[tex] {52 \choose n} - \left| \bigcup H_i \right| = \sum _{i=0} ^4 (-1)^i{4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]
Og da kan vi finne et utrykk for sannsynligheten:
[tex]p(n) = \frac{1}{{52 \choose n}} \sum _{i=0} ^4 (-1)^i{4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]
Jeg plottet denne sannsynlighetsfunksjonen i Mathematica (Som benytter seg av den generaliserte binomialkoeffisienten, beregnet med gammafunksjonen). Grafen ble seende slik ut:
Kanskje er det noen som klarer å finne et litt finere uttrykk for p(n), uten summetegnet?