Pokerhånd

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Pokerhånd

Innlegg daofeishi » 23/09-2007 16:39

I anledning at Norge har fått en ny, ung pokermillionær kan jo vi som (snart) må hanskes med saftige studielån prøve oss på litt pokersannsynlighet. ;)

Du plukker ut en hånd på 5 kort fra en vanlig kortstokk. Hva er sannsynligheten for at hånden din har minst ett kort av hver farge?
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Charlatan » 23/09-2007 17:06

Vi ser at vi kan skrive denne sannsynligheten som:

[tex]P(\text{minst ett kort av hver farge}) = \frac{{13\choose a} \cdot {13\choose b} \cdot {13\choose c} \cdot {13\choose d}}{52\choose 5}[/tex]

Hvor [tex]a,b,c,d[/tex] er positive tall mellom 1 og 2 og [tex]a+b+c+d=5[/tex]

Vi ser at antall muligheter blir en kombinasjon av hvor mange ganger tallet 2 kan fordeles blant 4 ledd. Altså [tex]{4\choose 1}[/tex] = 4

Det er bare èn måte å skrive de forskjellige sannsynlighetene på:

[tex]\frac{{13\choose 1} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 2}}{52\choose 5}[/tex]

Siden det ikke har noe å si hvilken rekkefølge faktorene står i.

Sannsynligheten blir da:

[tex]P(\text{minst ett kort av hver farge}) = {4\choose 1} \cdot \frac{{13\choose 1} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 2}}{52\choose 5}= 0.264[/tex]

Blir det riktig?
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg daofeishi » 24/09-2007 05:00

Stemmer! Nå bytter vi kortspill til kabal! Jeg regner med folk kjenner til "solitaire"-kabalen som følger med windows. På åpningshånden ligger det 7 kort oppe på bordet. Hva er sannsynligheten for at denne 7-kortshånden har minst ett kort i hver farge?

Edit: Bonusspørsmål: Hva er sannsynligheten for at det finnes minst ett kort av hver farge i en hånd på n kort?
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Charlatan » 25/09-2007 16:48

Vi kan sette opp sannsynligheten for at det er et antall a,b,c,dav hver farge slik:

[tex]P(\text{mist ett kort av en farge})=\frac{{13\choose a} \cdot {13\choose b} \cdot {13\choose c} \cdot {13\choose d}}{52\choose 7}[/tex]

Hvor [tex]a+b+c+d=7[/tex]

og [tex]a,b,c,d[/tex] er positive heltall mellom 1 og 3.

La oss se på alternativet at det er 4 av èn farge:
Da er antall alternativer lik antall måter vi kan sette tallet 4 med tre 1'ere:
[tex]1,1,1,4[/tex] eller [tex]1,4,1,1[/tex]

Det er 4 kombinasjoner tallet 4 kan kombineres blant 4 plasser
På samme måte hvis det er 3 kort av èn farge blir antall muligheter lik antall måter vi kan sette tallet 3 og 2 blant to 1'ere:
[tex]1,3,2,1[/tex] eller [tex]1,1,3,2[/tex]

Det blir 12 kombinasjoner, for antall ganger taller 3 kan settes blant 4 plasser er 4 ganger antall ganger tallet 2 kan settes på de resterende plassene.

Vi har så igjen antall måter det kan være 2 kort av tre farger og 1 kort av en farge. Altså: [tex]1,2,2,2[/tex] eller [tex]2,2,1,2[/tex]

Vi kan se det som antall ganger tallet 1 kan settes blant 4 plasser. Det blir 4 kombinasjoner.

Så ganger vi disse forskjellige kombinasjonene med deres sannsynlighet for at det skal skje og plusser dem sammen siden alle er mulige utfall:

[tex]P(\text{mist ett kort av en farge})=4 \cdot \frac{{13\choose 4} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 1}}{52\choose 7} + 12 \cdot \frac{{13\choose 3} \cdot {13\choose 2} \cdot {13\choose 1} \cdot {13\choose 1}}{52\choose 7} + 4 \cdot \frac{{13\choose 2} \cdot {13\choose 2} \cdot {13\choose 2} \cdot {13\choose 1}}{52\choose 7} = 0.570[/tex]
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg daofeishi » 26/09-2007 03:43

Kjempefint, Jarle! :)


Jeg synes bonusspørsmålet var såpass spennende at jeg prøver meg selv.

Vi ønsker å finne hva sannsynligheten p(n) er for at en n-kortshånd inneholder minst en av hver farge.

La [tex]H_1, \ H_2, \ H_3, \ H_4[/tex] være mengdene med alle n-kortshender uten hjerter, ruter, spar og kløver respektivt. Da er [tex]|H_i| = {39 \choose n}[/tex].

[tex]\bigcup H_i[/tex] er da mengden med alle n-kortshender som mangler ett eller flere kort.

Kardinaliteten av denne mengden er gitt ved inkluderings-/eksklusjonsprinsippet:

[tex]\left| \bigcup H_i \right| = \sum |H_i| - \sum _{i \neq j} |H_i \cap H_j| + \sum _{i \neq j \neq k} |H_i \cap H_j \cap H_k| - |H_1\cap H_2 \cap H_3 \cap H_4| [/tex]

Unionen av 2 av kortmengdene er mengden med alle hender uten 2 kortfarger, og disse mengdene har derfor kardinalitet [tex] {26 \choose n}[/tex]. På samme vis har unionen av 3 kortmengder kardinalitet [tex]{13 \choose n}[/tex] og kardinaliteten til unionen av alle 4 er 0.

Altså: [tex]\left| \bigcup H_i \right| = \sum _{i=1} ^4 (-1)^{i-1} {4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]

Men vi ønsker kardinaliteten til komplementet av denne mengden, som er
[tex] {52 \choose n} - \left| \bigcup H_i \right| = \sum _{i=0} ^4 (-1)^i{4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]

Og da kan vi finne et utrykk for sannsynligheten:

[tex]p(n) = \frac{1}{{52 \choose n}} \sum _{i=0} ^4 (-1)^i{4 \choose i}{52-13i \choose n}[/tex]


Jeg plottet denne sannsynlighetsfunksjonen i Mathematica (Som benytter seg av den generaliserte binomialkoeffisienten, beregnet med gammafunksjonen). Grafen ble seende slik ut:

Bilde


Kanskje er det noen som klarer å finne et litt finere uttrykk for p(n), uten summetegnet?
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 23 gjester