Ekspansjon av uttrykk og antall ledd

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Ekspansjon av uttrykk og antall ledd

Innlegg daofeishi » 23/09-2007 07:57

Hvis du ekspanderer [tex](x+y)^2[/tex] får du resultatet [tex]x^2+2xy+y^2[/tex]. [tex](x+y)^2[/tex] har dermed, etter forenkling, 3 ledd. Hvis du ekspanderer [tex](a+b+c)^3[/tex] og forenkler ender du opp med [tex]a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3[/tex], altså 10 ledd.

Finn et uttykk som beskriver hvor mange ledd [tex](x_1 + x_2 + ... + x_n)^p[/tex] har etter ekspansjon og forenkling som en funksjon av n og p.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg sEirik » 23/09-2007 12:19

Det er vel opplagt at vi etter ekspansjonen vil få et homogent polynom (et polynom der alle ledd har samme grad), og alle leddene vil ha graden p. Altså vil summen av eksponentene i hvert ledd bli lik p.

I tilfellet [tex]n = 3[/tex] vil alle leddene være på formen [tex]a^xb^yc^z[/tex] der [tex]x+y+z = p[/tex], og [tex]x,y,z \in \{0,1,2,...,p\}[/tex].

Altså må antall ledd i ekspansjonen være lik antall måter vi kan skrive p som en sum av n ledd f.o.m. 0 t.o.m. p på.

Så gjenstår spørsmålet, på hvor mange måter kan vi skrive p som en sum av n ledd?

Vi ser på en tekststreng med et p X-er og (n-1) |-er, for eksempel:

XXXX|XX|XXXXXXX

I dette tilfellet vil da p = 13 og n = 3. Vi ser at denne tekststrengen representerer en måte å skrive p som en sum av n ledd på, nemlig p = 4+2+7. Vi observerer at hver slik tekststreng representerer én måte å skrive p på, altså er problemet redusert til å finne ut hvor mange slike tekststrenger vi kan lage. Vi kan se på det på denne måten; vi har p+2 plasser, og vi skal velge n-1 av disse plassene å sette ut |-tegn på. Da får vi [tex]{p+2 \choose n-1}[/tex] kombinasjoner.

Konklusjon: Vi opphøyer et polynom med n ledd i p-te potens. Etter ekspansjon og sammentrekking får vi da [tex]{n+p-1 \choose n-1}[/tex] ledd.

Hvordan går det i Kina forresten?
Sist endret av sEirik den 23/09-2007 21:52, endret 1 gang
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 23/09-2007 15:17

Finfint, Eirik! Vi har til og med tenkt helt likt - også jeg hadde argumentet med X/|-strengene :) (det vil si, jeg brukte O/|-strenger :P) Helt mot slutten har du gjort en ørliten slurvefeil. Du vil se den selv. Når du generaliserer for alle p blir uttrykket [tex]{{n+p-1}\choose{p}} = {{n+p-1}\choose{n-1}}[/tex]

Joda, det går fint her. Jeg har såvidt kommet i gang med engelskkurset, og studentene virker lærevillige. Det som dog er en utfordring er å klare seg i hverdagen her når kinesisken min langt fra er perfekt. Dette er en av de mindre besøkte provinsene i Kina, og det er desto færre folk som forstår engelsk. Jeg var ute her en kveld for å spise (det er nesten billigere å kjøpe mat på kafe en å lage den selv hjemme), og ble vist en flott meny med snirklete kinesiske tegn. Jeg klarte ikke å gjenkjenne et eneste ett, så jeg pekte tilfeldig på en av de billigere rettene på menyen i håp av at jeg ville bli servert nudler. Det som så skjer er at servitrisen småspringer bort til det andre kafepersonalet og bryter sammen i skikkelig magelatter. Jeg var ute av stand til å skjønne hvorfor. Det tar ca 20 minutter før servitrisen kommer tilbake. I hånden har hun en liten tallerk av størrelsen mormor bruker i kaffeslaberas. Hun senker den sakte ned forran ansiktet mitt... På asjetten lå det et svart, nesten forkullet, spurvelignende vesen, servert helt bokstavelig talt med nebb og klør. Magen var sprettet, og innvollene var klart og tydelig gjort klare for servering. Jeg gjorde mitt beste for å heise haka, senke øyenbrynene og vri ansiktet i et smil, og forlot kafeen så fort servitrisen forsvant bak forhenget. Sånn går det når man er "laowai."

Joda, det blir nok en del historier av dette oppholdet. Forhåpentligvis historier jeg kan le av i ettertiden. Nå sprengleser jeg forøvrig på kinesiske fuglearter og andre matvarer så dette ikke skal skje igjen.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg sEirik » 23/09-2007 21:55

Ooops, det glemte jeg meg visst litt på slutten, jaja. Fiksa det nå. Skulle nemlig spille konsert rett etter at jeg skrev det der, så jeg hadde litt annet å tenke på :P Men konserten gikk veldig bra.

Spennende retter i Kina ja...
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg mrcreosote » 24/09-2007 19:14

La oss generalisere litt: [tex](a+b+c+d)^3[/tex] vil etter formelen ganske riktig gi 20 ledd. Men hva nå om c=1/a og d=1/b, da vil vi bare få 16. Jeg vil ikke gi noen konkret oppgave, men dette kan jo være noe å leke mer med.

Avspist med en skarve fugl (tørr), det skal ikke være lett. Fortell gjerne mer fra Kina! Hva er forresten din danske favorittfilm?
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 20 gjester