Anta a og b positive rasjonale tall. Vis at om [tex]\sqrt a+\sqrt b[/tex] er rasjonalt er også de to talla [tex]\sqrt a[/tex] og [tex]\sqrt b[/tex] det.
Jeg syns det er synd at ingen har prøvd seg på tallteorioppgavene til daofeishi, der er det mye man kan lære. Dessuten er det vel en del artigere å løse slikt enn vanlige tørrkjeksoppgaver? Kom igjen, gi det en sjanse, det ligger en del fine oppgaver strødd rundt på nøtteforumet.
Rasjonale tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} = \frac{x}{y}[/tex]
Hvor a,b,x,y er rasjonale tall
[tex]\sqrt{a}=\frac{x}{y} - \sqrt{b}[/tex]
Vi kvadrerer:
[tex]a=(\frac{x}{y})^2-2\frac{x}{y}\sqrt{b} + b[/tex]
Vi isolerer [tex]\sqrt{b}[/tex]:
[tex]\sqrt{b} = \frac{y}{2x}(b+(\frac{x}{y})^2-a)[/tex]
Kvadratroten av b kan altså uttrykkes utelukkende av rasjonale tall, og er derfor rasjonalt. Man kan gjøre det samme med [tex]\sqrt{a}[/tex] hvor man får:
[tex]\sqrt{a} = \frac{y}{2x}(a+(\frac{x}{y})^2-b)[/tex]
Ut i fra dette kan man konkludere med at hvis [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex] er rasjonale tall, må både [tex]\sqrt{a}[/tex] og [tex]\sqrt{b}[/tex] være det.
Hvor a,b,x,y er rasjonale tall
[tex]\sqrt{a}=\frac{x}{y} - \sqrt{b}[/tex]
Vi kvadrerer:
[tex]a=(\frac{x}{y})^2-2\frac{x}{y}\sqrt{b} + b[/tex]
Vi isolerer [tex]\sqrt{b}[/tex]:
[tex]\sqrt{b} = \frac{y}{2x}(b+(\frac{x}{y})^2-a)[/tex]
Kvadratroten av b kan altså uttrykkes utelukkende av rasjonale tall, og er derfor rasjonalt. Man kan gjøre det samme med [tex]\sqrt{a}[/tex] hvor man får:
[tex]\sqrt{a} = \frac{y}{2x}(a+(\frac{x}{y})^2-b)[/tex]
Ut i fra dette kan man konkludere med at hvis [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex] er rasjonale tall, må både [tex]\sqrt{a}[/tex] og [tex]\sqrt{b}[/tex] være det.
Savner en god, lettforståelig, norsk innføring i tallteori som ligger gratis på internettmrcreosote skrev:Jeg syns det er synd at ingen har prøvd seg på tallteorioppgavene til daofeishi, der er det mye man kan lære. Dessuten er det vel en del artigere å løse slikt enn vanlige tørrkjeksoppgaver? Kom igjen, gi det en sjanse, det ligger en del fine oppgaver strødd rundt på nøtteforumet.
Sannsynligvis har jeg bare ikke lett godt nok.-
*Sorcerer*
- Cantor
- Innlegg: 111
- Registrert: 16/12-2005 21:17
Det virker som om det ikke er så mye om tallteori på norsk. Det ligger jo mye ute på nettet som er på engelsk. (Om det er lovlig å laste ned er en annen sak.) Dessuten er det mye bedre å ha en bok fysisk enn å stirre på skjermen.
Usus magister est optimus
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Bra, Jarle! Oppgava var henta fra Abelkonkurransen 1981.
En annen løsning: [tex]\sqrt a-\sqrt b = \frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}[/tex] må være rasjonal. Følgelig er [tex]2\sqrt a = (\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)[/tex] rasjonal og dermed også [tex]\sqrt a[/tex] og [tex]\sqrt b[/tex], men din løsning er bestemt like riktig.
Da er det bare å gyve løs på tallteorien!
En annen løsning: [tex]\sqrt a-\sqrt b = \frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}[/tex] må være rasjonal. Følgelig er [tex]2\sqrt a = (\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)[/tex] rasjonal og dermed også [tex]\sqrt a[/tex] og [tex]\sqrt b[/tex], men din løsning er bestemt like riktig.
Da er det bare å gyve løs på tallteorien!
Finnes ikke, men Daofeishi skriver vel (fortsatt) på sin. Den kommer til å bli bra.sEirik skrev:Savner en god, lettforståelig, norsk innføring i tallteori som ligger gratis på internettmrcreosote skrev:Jeg syns det er synd at ingen har prøvd seg på tallteorioppgavene til daofeishi, der er det mye man kan lære. Dessuten er det vel en del artigere å løse slikt enn vanlige tørrkjeksoppgaver? Kom igjen, gi det en sjanse, det ligger en del fine oppgaver strødd rundt på nøtteforumet.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
En til i samme gata:
La x og y være positive reelle tall slik at [tex]x^3[/tex], [tex]y^3[/tex] og [tex]x+y[/tex] alle er rasjonale tall. Vis at x er rasjonal.
La x og y være positive reelle tall slik at [tex]x^3[/tex], [tex]y^3[/tex] og [tex]x+y[/tex] alle er rasjonale tall. Vis at x er rasjonal.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
?Jarle10 skrev:
Utsagnet "La x og y være positive reelle tall" [tex]\Rightarrow[/tex] x er rasjonal
Forslag til svar siden ingen har skrevet noe enda:
vi har at [tex]x^3[/tex] , [tex]y^3[/tex] , [tex]x+y[/tex] er rasjonale
Dermed er også [tex]\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2+y^2-xy[/tex] rasjonalt og
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy[/tex] rasjonalt
Ut i fra dette er det lett å bevise at [tex]x^2+y^2[/tex] og [tex]xy[/tex] er rasjonalt alene.
Vi har så at [tex]\frac{y^3}{xy}=\frac{y^2}{x}=a[/tex] og [tex]\frac{x+y}{xy}=\frac1x+\frac1y=b[/tex] og [tex]\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac xy +\frac yx =c[/tex] hvor [tex]a[/tex] , [tex]b[/tex] , [tex]c[/tex] er rasjonale tall
Vi har så at [tex]\frac{y^2}{x}(\frac 1x + \frac 1y)=ab=\frac{y^2}{x^2}+\frac yx[/tex]
Vi trekker så fra [tex]c[/tex]
[tex]ab-c=\frac{y^2}{x^2}+\frac yx-\frac yx -\frac xy=\frac{y^2}{x^2}-\frac xy[/tex]
setter brøkene under fellesnevner:
[tex]\frac{y^3-x^3}{x^2y}=ab-c[/tex]
siden høyresiden er et rasjonalt tall vil også venstre siden være det. Fordi [tex]y^3-x^3[/tex] er rasjonalt gir dette at [tex]x^2y[/tex] er rasjonalt for at det skal stemme. Dermed er det lett å bevise at [tex]\frac{x^2y}{xy}=x[/tex] er rasjonalt. jeg er åpen for at jeg har gjort noen feil, men jeg kan i såfall ikke se dem. Det finnes sikkert en enklere eller vakrere måte, men jeg kunne ikke finne den heller.
Angående tallteori oppgavene som er blitt postet. Fordi om ingen enda har har postet noen svar betyr det ikke at ingen enten prøver seg eller løser dem. selv har jeg løst et par av de enkelste, men har ikke brydd meg med å poste svaret på forumet:)
og mrcreosote, hvor fikk du tak i abeloppgaven? På hjemmesiden går ikke oppgavene lenger enn til 1992, mens din var fra 1981?
vi har at [tex]x^3[/tex] , [tex]y^3[/tex] , [tex]x+y[/tex] er rasjonale
Dermed er også [tex]\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2+y^2-xy[/tex] rasjonalt og
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy[/tex] rasjonalt
Ut i fra dette er det lett å bevise at [tex]x^2+y^2[/tex] og [tex]xy[/tex] er rasjonalt alene.
Vi har så at [tex]\frac{y^3}{xy}=\frac{y^2}{x}=a[/tex] og [tex]\frac{x+y}{xy}=\frac1x+\frac1y=b[/tex] og [tex]\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac xy +\frac yx =c[/tex] hvor [tex]a[/tex] , [tex]b[/tex] , [tex]c[/tex] er rasjonale tall
Vi har så at [tex]\frac{y^2}{x}(\frac 1x + \frac 1y)=ab=\frac{y^2}{x^2}+\frac yx[/tex]
Vi trekker så fra [tex]c[/tex]
[tex]ab-c=\frac{y^2}{x^2}+\frac yx-\frac yx -\frac xy=\frac{y^2}{x^2}-\frac xy[/tex]
setter brøkene under fellesnevner:
[tex]\frac{y^3-x^3}{x^2y}=ab-c[/tex]
siden høyresiden er et rasjonalt tall vil også venstre siden være det. Fordi [tex]y^3-x^3[/tex] er rasjonalt gir dette at [tex]x^2y[/tex] er rasjonalt for at det skal stemme. Dermed er det lett å bevise at [tex]\frac{x^2y}{xy}=x[/tex] er rasjonalt. jeg er åpen for at jeg har gjort noen feil, men jeg kan i såfall ikke se dem. Det finnes sikkert en enklere eller vakrere måte, men jeg kunne ikke finne den heller.
Angående tallteori oppgavene som er blitt postet. Fordi om ingen enda har har postet noen svar betyr det ikke at ingen enten prøver seg eller løser dem. selv har jeg løst et par av de enkelste, men har ikke brydd meg med å poste svaret på forumet:)
og mrcreosote, hvor fikk du tak i abeloppgaven? På hjemmesiden går ikke oppgavene lenger enn til 1992, mens din var fra 1981?
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Neida, ser helt fint ut det der. I oppgava var man egentlig bedt om å vise at [tex]x^2+y^2[/tex] og xy også var rasjonale, som jo faktisk hadde gjort det lettere; du klarte det uten det hintet, bra!
Du har nok rett i at noen bruker oppgavene som blir lagt ut, og det er jo fint. Skjønner godt at det ikke alltid er gøy å poste svar på oppgaver man anser som trivielle, men det er noe med å skape et miljø for sånt også. Jaja, fint du prøver deg på oppgavene, det er litt mer moro enn skolematematikken. Hvilket nivå er du på forresten?
Jeg har ei lita bok med oppgaver fra Abelkonkurransen 1980-88, men det mangler da oppgavene fram til 92-93. Noen andre som har noe i det hullet?
Du har nok rett i at noen bruker oppgavene som blir lagt ut, og det er jo fint. Skjønner godt at det ikke alltid er gøy å poste svar på oppgaver man anser som trivielle, men det er noe med å skape et miljø for sånt også. Jaja, fint du prøver deg på oppgavene, det er litt mer moro enn skolematematikken. Hvilket nivå er du på forresten?
Jeg har ei lita bok med oppgaver fra Abelkonkurransen 1980-88, men det mangler da oppgavene fram til 92-93. Noen andre som har noe i det hullet?
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Se det ja, ikke verst. Du stiller i Abelkonkurransen til høsten regner jeg med da, var kanskje med i fjor også?