Interessant volumoppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Interessant volumoppgave

Innlegg daofeishi » 04/09-2007 21:02

Det er sikkert en del som har lagt merke til en likhet mellom volumformelen for en pyramide og for en kjegle. Dersom A er arealet av grunnflaten og h er høyden av disse formene, er volumet for begge to gitt ved [tex]V = \frac{Ah}{3}[/tex]

Det disse to formene har til felles, er at de bestemmes av en grunnflate og et "forsvinningspunkt," og formen skapes ved å trekke rette linjer fra "forsvinningspunktet" til ytterkanten på grunnflaten.

Prøv å bevise at samme volumformel, [tex]V = \frac{Ah}{3}[/tex] der A er arealet av grunnflaten og h er høyden fra grunnflaten til "forsvinningspunktet," gjelder for alle slike former, uansett formen på grunnflaten!
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg daofeishi » 06/09-2007 14:40

Hint:

Ta for deg et plant snitt gjennom formen parallelt med grunnflaten. Hvilken form har dette snittet? Kan du relatere arealet av dette snittet til arealet av grunnflaten som en funksjon av høyde?


Oppgaven er forresten fullt ut løselig med teknikker fra VGS.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg sEirik » 06/09-2007 15:52

Kom an folkens, dette her er ikke vanskelig.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 06/09-2007 21:55

sEirik skrev:Kom an folkens, dette her er ikke vanskelig.


Jeg er skuffet over hvor få som benytter nøtteforumet sammenlignet med forumet ellers.

Det må da være noen norske vgs-studenter som er interessert i å gjøre annen matematikk enn "regelbokmatematikken"?
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Janhaa » 07/09-2007 15:21

Jeg tillater meg å komme med ett bidrag her. Er jo kjemiker (som nevnt tidligere), og sysler derfor mest med kjemi. Uansett - i mangel av figur og formlik trekant antar jeg A(x) som tverrsnittarealet av romlegemet. Der forholdet mellom A(x) og bunnflata, G, er kvadratet av det lineære forholdet[tex]\;{x\over h}[/tex]
Slik at:

[tex]\frac{A(x)}{G}=\frac{x^2}{h^2},\;\; [/tex]altså

[tex]A(x)=\frac{G}{h^2}x^2[/tex]

[tex]V=\int_0^h A(x){\rm dx}=\frac{G}{h^2}\int_0^h x^2{\rm dx}=\frac{G}{3h^2}\cdot [x^3]_0^h=\frac{G}{3h^2}(h^3-0)=\frac{Gh}{3}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8097
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg daofeishi » 09/09-2007 23:50

Jepp, slik løste jeg den og. Ellers er ikke dette et resultat jeg noen gang har sett referert før (-merkelig?). Jeg husker dette er noe jeg undret meg over om ikke stemte på ungdomsskolen, men jeg kom ikke på å prøve å bevise det før her forleden. Ved hvilket universitet tar du din PhD, forresten, Janhaa?
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Themaister » 01/11-2007 12:56

Yey :D Klarte den i hvertfall.

G(x) = Areal av flate ved høyde x
A = Grunnflateareal


G(x) = A * ((h-x)/h)^2 =
A * (h^2-2xh+x^2)/h^2 =

A * (1 - 2x/h + x^2/h^2)

Integral fra 0 til h: A * (1 - 2x/h + x^2/h^2) dx

A * (h - h + h/3) = Ah/3

;D

Veit ikke åssen man bruker latex eller hva det heter =(=( Link til guide?
Themaister offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 30/01-2007 15:23

Innlegg Magnus » 01/11-2007 13:49

Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg arildno » 03/11-2007 11:15

For n-dimensjonale "pyramider" med "grunnflate" G og høyde h har vi generelt volum v=(G*h)/n, når n er større eller lik 2.
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 18 gjester