matematikk.net

Sommeren er over, sola er borte bak skyene, temperatur derivert er mindre enn null osv osv. På tide med høstintegraler. Og jeg begynner med et ikke så veldig vanskelig et:

[tex]I_1 = \int \tan^k (x) {\rm d}x[/tex], [tex]k > 2[/tex]

(Hvis jeg har gjort en feil slik at integralet over ikke er løselig, så tar jeg intet ansvar.)

sEirik skrev:Sommeren er over, sola er borte bak skyene, temperatur derivert er mindre enn null osv osv. På tide med høstintegraler. Og jeg begynner med et ikke så veldig vanskelig et:
[tex]I_1 = \int \tan^k (x) {\rm d}x[/tex], [tex]k > 2[/tex]
(Hvis jeg har gjort en feil slik at integralet over ikke er løselig, så tar jeg intet ansvar.)

Denne har jeg integrert før, var en av integrala som forsvant !
Men har ikke tid nå, men hvis noen vil prøve seg, gis hintet:

[tex] \tan^k(x)=\tan^{k-1}(x)\tan(x)[/tex]

Eller slik jeg tenkte:

[tex]\tan^k (x) = \tan^k(x) + \tan^2(x) - \tan^2(x) - 1 + 1 = \tan^{k-2}(x) (\tan^2 (x) + 1) - (\tan^2(x) + 1) + 1[/tex]

Da fortsetter jeg, skriver integralet slik:

[tex]I=\int \tan^k(x) {\rm dx}=\int \tan^{k-2}(x) \tan^2(x){\rm dx}[/tex]

der

[tex] \tan^{k-2}(x) \tan^2(x)=\tan^{k-2}(x)(\sec^2(x)-1)=\tan^{k-2}(x)\sec^2(x)\,-\,\tan^{k-2}(x)[/tex]

[tex]I=\int \tan^{k-2}(x)\sec^2(x) {\rm dx}\,-\,\int \tan^{k-2}(x) {\rm dx}[/tex]

u = tan(x),
du = (1 + tan[sup]2[/sup](x)) dx = sec[sup]2[/sup](x) dx

[tex]I_1=\int u^{k-2} {\rm du}=\frac{1}{k-1}\,u^{k-1}[/tex]

[tex]I=\frac{\tan^{k-1}(x)}{k-1}\,-\,\int \tan^{k-2}(x){\rm dx}\;\;\;[/tex],k [symbol:ikke_lik] 1

Ja, men klarer du å finne en generell formel? En som ikke er rekursiv?