matematikk.net

Jeg vet ikke hvor vanskelig denne er å løse, men regner med at den ikke er lett!

Vis at [tex]2^{n-1}(2^n-1)[/tex] er et perfekt tall hvis [tex]2^n-1[/tex] er et primtall.

EDIT: Den er nok litt vanskelig, ja. Fant et bevis her: http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html.

Neida, denne er grei å vise.

Et tall er perfekt dersom det er lik summen av sine divisorer. La oss si at [tex]p = 2^n - 1[/tex] er prim.
Vi tar for oss tallet [tex]2^{n-1}(2^n-1) = p2^{n-1}[/tex]

Da blir summen av divisorene i overnevnte tall
[tex](1 + 2 + 2^2 +... + 2^{n-1}) + p(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n-2}) = (2^n - 1) + p(2^{n-1}-1) \\ = p + p(2^{n-1}-1) = p2^{n-1}[/tex]

som var det vi ville vise. Tallet er perfekt.

Beviset ditt var ikke vanskelig å forstå. Enkelt og greit.

Nesten litt synd...trodde jeg hadde en skikkelig nøtt og greier.