La V være delmengden av [tex]\[0\ ,\ 2\pi \>[/tex] som har eksakte sinus-verdier, med "eksakt" skal vi mene at hvis [tex]v \in V[/tex] kan vi skrive [tex]\sin v[/tex] som en enkel formel satt sammen av sum, differens, produkt, brøk, potenser og rotutdragning av rasjonale tall.
For eksempel er [tex]\frac{\pi}{4} \in V[/tex] siden [tex]\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], en enkel formel.
Avgjør hvilke kriterier som bestemmer om [tex]v \in V[/tex] hvis [tex]v \in \[0\ ,\ 2\pi \>[/tex].
(Og nei, har dessverre ingen løsning på denne selv. Dette blir forskning...)
Eksakte verdier av sinus
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det jeg kan si sikkert selv er at alle vinkler som kan skrives som [tex]n\pi/2^m[/tex] der [tex]m,n \in {\mathbb Z} \cup [0\ ,\ \infty)[/tex] må ha en slik eksakt sinus-verdi.
Dette følger fordi vi hele tiden kan bruke formelen [tex]\sin (2v) = 2\sin (v) \cos (v)[/tex] til å finne halve vinkelen gitt av hele vinkelen har en eksakt formel - til slutt får vi delt den til [tex]2^m[/tex]. Dessuten kan vi alltid finne en formel for [tex]\sin (n\pi)[/tex] som gir eksakt svar.
(Hmm, kan vi bruke sin(2v)-formelen til det? Ble litt usikker. Det vi i hvert fall kan gjøre, er å bruke [tex]\cos (2v) = \cos^2 (v) - \sin^2 (v)[/tex] og [tex]\sin^2 (v) + \cos^2 (v) = 1[/tex] til å finne et nøyaktig uttrykk.)
Dette følger fordi vi hele tiden kan bruke formelen [tex]\sin (2v) = 2\sin (v) \cos (v)[/tex] til å finne halve vinkelen gitt av hele vinkelen har en eksakt formel - til slutt får vi delt den til [tex]2^m[/tex]. Dessuten kan vi alltid finne en formel for [tex]\sin (n\pi)[/tex] som gir eksakt svar.
(Hmm, kan vi bruke sin(2v)-formelen til det? Ble litt usikker. Det vi i hvert fall kan gjøre, er å bruke [tex]\cos (2v) = \cos^2 (v) - \sin^2 (v)[/tex] og [tex]\sin^2 (v) + \cos^2 (v) = 1[/tex] til å finne et nøyaktig uttrykk.)
Litt off topic men jeg satt og regna på denne en gang i tiden
[tex]\sin(\frac{\pi}{120}) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{32+\sqrt{240}+\sqrt{48}+\sqrt{160-\sqrt{5120}}}}}{4} [/tex]
Puh! Håper jeg klarte å skrive av denne rett.
[tex]\sin(\frac{\pi}{120}) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{32+\sqrt{240}+\sqrt{48}+\sqrt{160-\sqrt{5120}}}}}{4} [/tex]
Puh! Håper jeg klarte å skrive av denne rett.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det du kaller eksakt heter et algebraisk tall. Det vil si at tallet er rot i et polynom i Q[x], altså et polynom med rasjonale koeffisienter.
Nå er sinusfunksjonen kontinuerlig og de algebraiske tall ligger tett i R (det vil lettfattelig si at gitt et vilkårlig tall a i R kan vi finne et algebraisk tall som ligger vilkårlig nær a. Q ligger for øvrig også tett i R.) Derfor må V i alle fall ligge tett i [0,2pi].
Du er flink til å undre på ting, det kommer nok til nytte og glede allerede, men kommer nok til å merke det i enda større grad om du fortsetter med matematikk i framtida.
Nå er sinusfunksjonen kontinuerlig og de algebraiske tall ligger tett i R (det vil lettfattelig si at gitt et vilkårlig tall a i R kan vi finne et algebraisk tall som ligger vilkårlig nær a. Q ligger for øvrig også tett i R.) Derfor må V i alle fall ligge tett i [0,2pi].
Du er flink til å undre på ting, det kommer nok til nytte og glede allerede, men kommer nok til å merke det i enda større grad om du fortsetter med matematikk i framtida.
Men det følger også av formelen i post nr. 2, siden [tex]\{n\pi/2^m\ |\ m,n \in {\mathbb}Z \wedge m,n \ge 0\}[/tex] ligger tett på tallinja.mrcreosote skrev:Derfor må V i alle fall ligge tett i [0,2pi].
Nå hadde det kanskje vært gøy å bevise at disse faktisk ligger tett, og ikke bare bruke intuisjon, men det får jeg ta en annen gang, eller noen andre kan ta det.
Jeg foreslår at vi innskrenker mengden fra [tex]\[0\ ,\ 2\pi\>[/tex] til bare [tex]\[0\ ,\ \frac{\pi}{2} \][/tex]. Da er både sinus og cosinus positive, og det gjør det blant annet enklere å bruke [tex]\sin^2 (v) + \cos^2 (v) = 1[/tex].
Jepp, det er han. Så nå håper jeg at du snart ikke bare er interessert i musikk sEirik?mrcreosote skrev:Du er flink til å undre på ting, det kommer nok til nytte og glede allerede, men kommer nok til å merke det i enda større grad om du fortsetter med matematikk i framtida.
Ok, her er så langt jeg har kommet hittil. Jeg driter i å betrakte bare et begrenset intervall [tex]\[0\ ,\ \frac{\pi}{2} \][/tex], det viste seg bare å skape problemer uansett. Vi ser på hele R.
Dette følger direkte av setningen [tex]\sin (u+v) = \sin (u) \cos (v) + \cos (u) \sin (v)[/tex]. Siden vi har sum av produkt av algebraiske tall, må [tex]\sin (u+v)[/tex] være et algebraisk tall, og da er [tex]u+v \in V[/tex].
Vi skal føre et induktivt bevis. Vi definerer påstanden P[sub]n[/sub] for alle naturlige tall n.
P[sub]n[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]1[/sub] stemmer, siden v = 1v. Anta at P[sub]n[/sub] stemmer.
Vi setter p = v og q = nv. Vi vet da at både p og q er element i V.
Av lemma (2) får vi at [tex]p + q = (n+1)v \in V[/tex], og dette viser at P[sub]n+1[/sub] stemmer.
Av induksjonsprinsippet må P[sub]n[/sub] stemme for alle naturlige tall n, og beviset er ferdig.
Vi kjenner setningen [tex]\cos (2v) = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex].
Siden [tex]\cos^2 (2v) + \sin^2 (2v) = 1[/tex] vet vi at [tex]\sin (2v) = \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]. Fortegnet til [tex]\pm[/tex] er avhengig av kvadranten v ligger i, men er ikke viktig i denne sammenhengen.
Vi setter inn dette og får
[tex]\pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)} = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex]
[tex]2\sin^2 (v) = 1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]
[tex]\sin^2 (v) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}[/tex]
[tex]\sin (v) = \pm \sqrt {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}}[/tex]
Fortegnet til det siste [tex]\pm[/tex] som kom avhenger også av kvadranten til v, men er ikke viktig i denne sammenhengen. Alt vi trenger å vite er at alle 4 kombinasjoner av fortegn gir et algebraisk tall for [tex]\sin (v)[/tex]. Sett at [tex]2u \in V[/tex] må altså [tex]u \in V[/tex]. Setter vi [tex]v = 2u[/tex] følger lemmaet direkte.
Dette blir et induksjonsbevis. Vi definerer påstanden P[sub]m[/sub] for hele tall [tex]m \ge 0[/tex].
P[sub]m[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in N[/tex] er [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]0[/sub] må stemme, siden [tex]nv/2^0 = nv[/tex], og [tex]nv \in V[/tex] ifølge lemma (3). Vi antar nå P[sub]m[/sub].
Siden [tex]nv / 2^m \in V[/tex] følger det av lemma (4) at også [tex]nv / 2^m / 2 = nv / 2^{m+1} \in V[/tex]. Dette betyr at påstanden P[sub]m+1[/sub] stemmer, og av induksjonsprinsippet stemmer P[sub]m[/sub] for alle m. Dette fullfører beviset.
(1) Definisjon
La V være delmengden av [tex]\mathbb R[/tex] som har eksakte sinus-verdier, med "eksakt" skal vi mene at [tex]\sin v \in {\mathbb A}[/tex], der [tex]\mathbb A[/tex] er mengden av algebraiske tall.
Bevis:(2) Lemma
Hvis [tex]u,v \in V[/tex] er også [tex]u+v \in V[/tex].
Dette følger direkte av setningen [tex]\sin (u+v) = \sin (u) \cos (v) + \cos (u) \sin (v)[/tex]. Siden vi har sum av produkt av algebraiske tall, må [tex]\sin (u+v)[/tex] være et algebraisk tall, og da er [tex]u+v \in V[/tex].
Bevis:(3) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Vi skal føre et induktivt bevis. Vi definerer påstanden P[sub]n[/sub] for alle naturlige tall n.
P[sub]n[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]1[/sub] stemmer, siden v = 1v. Anta at P[sub]n[/sub] stemmer.
Vi setter p = v og q = nv. Vi vet da at både p og q er element i V.
Av lemma (2) får vi at [tex]p + q = (n+1)v \in V[/tex], og dette viser at P[sub]n+1[/sub] stemmer.
Av induksjonsprinsippet må P[sub]n[/sub] stemme for alle naturlige tall n, og beviset er ferdig.
Bevis:(4) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]v/2 \in V[/tex].
Vi kjenner setningen [tex]\cos (2v) = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex].
Siden [tex]\cos^2 (2v) + \sin^2 (2v) = 1[/tex] vet vi at [tex]\sin (2v) = \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]. Fortegnet til [tex]\pm[/tex] er avhengig av kvadranten v ligger i, men er ikke viktig i denne sammenhengen.
Vi setter inn dette og får
[tex]\pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)} = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex]
[tex]2\sin^2 (v) = 1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]
[tex]\sin^2 (v) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}[/tex]
[tex]\sin (v) = \pm \sqrt {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}}[/tex]
Fortegnet til det siste [tex]\pm[/tex] som kom avhenger også av kvadranten til v, men er ikke viktig i denne sammenhengen. Alt vi trenger å vite er at alle 4 kombinasjoner av fortegn gir et algebraisk tall for [tex]\sin (v)[/tex]. Sett at [tex]2u \in V[/tex] må altså [tex]u \in V[/tex]. Setter vi [tex]v = 2u[/tex] følger lemmaet direkte.
Bevis:(5) Teorem
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n,m \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Dette blir et induksjonsbevis. Vi definerer påstanden P[sub]m[/sub] for hele tall [tex]m \ge 0[/tex].
P[sub]m[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in N[/tex] er [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]0[/sub] må stemme, siden [tex]nv/2^0 = nv[/tex], og [tex]nv \in V[/tex] ifølge lemma (3). Vi antar nå P[sub]m[/sub].
Siden [tex]nv / 2^m \in V[/tex] følger det av lemma (4) at også [tex]nv / 2^m / 2 = nv / 2^{m+1} \in V[/tex]. Dette betyr at påstanden P[sub]m+1[/sub] stemmer, og av induksjonsprinsippet stemmer P[sub]m[/sub] for alle m. Dette fullfører beviset.
Det går fint an å finne et uttrykk for sin([symbol:pi]/180). Siden 2. og 3.-gradslikninger er generelt løselige, kan vi med sikkerhet si at vi kan finne [tex]\sin(\frac{k\pi}{2^m \cdot 3^n \cdot 5})[/tex] for alle heltallige k, m, n ved å bruke dobbel- og trippelvinkelidentitetene/Chebyshevpolynomene. Deretter blir det vel trolig vanskelig.