Finn alle funksjoner - oppvarming til eksamen!

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
EivindL
Cayley
Cayley
Innlegg: 56
Registrert: 02/01-2007 13:07
Sted: Hadeland

Finn alle, hvis noen, funksjoner [tex]f : \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+[/tex], slik at:

|) f(xf(y))f(y) = f(x+y), for alle [tex]x,y\in\mathbb{R}^+[/tex]

||) f(2) = 0

|||) f(x)[tex]\not=[/tex] 0 for hver [tex]0\leq x[/tex]<2
Matematikere er som franskmenn; uansett hva man sier til dem, oversetter de det til sitt eget språk, og dermed blir det straks noe helt annet.
- Johann Wolfgang von Goethe
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Det blei visst oppvarming til skolestart i stedet.

Mon du ikke mener [tex]\mathbb{R}^+\cup \{0\}[/tex] for [tex]\mathbb{R}^+[/tex]? I motsatt fall gir ikke krav III særlig mening. Jeg leser det slik og løser.

Vi har [tex]x=2-y \Rightarrow f((2-y)f(y))f(y)=f(2)=0 \Rightarrow (2-y)f(y)\geq2 \Rightarrow f(x)\geq\frac2{2-x} \forall x\in[0,2)[/tex] (Krav III brukt i en overgang.)

Videre vil [tex](x,y)=(x,2) \Rightarrow f(xf(2))f(2)=f(0)f(2)=0=f(2+x) \Rightarrow f(x)=0 \forall x\geq2[/tex].

Anta så at for en [tex]c\in[0,2)[/tex] er [tex]f(c)>\frac2{2-c}[/tex]. Da vil det finnes en d slik at [tex]f(c)=\frac2{2-d}[/tex] der c<d<2. (Dette følger siden 2/(2-x) er kontinuerlig og voksende og går mot uendelig når x går mot 2.) Setter vi nå inn [tex](x,y)=(2-d,c)[/tex] får vi [tex]f\big((2-d)\frac2{2-d}\big)\frac2{2-d}=f(2)=0=f(2+c-d)[/tex]. Men 2+c-d<2; motsigelse med krav III.
Ergo er eneste mulige løsning [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac2{2-x} & \mbox{ for } 0\leq x< 2 \\ 0& \mbox{ for } x\geq2\end{matrix}\right[/tex]

Denne funksjonen oppfyller opplagt de 2 siste krava, og også det første som det ikke skal være for mye bryderi å vise.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Ny funksjonalligning:

Finn alle [tex]f: \mathbb{R}\setminus\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(x)+f(\frac1{1-x}) = 1+\frac1{x(1-x)}[/tex].

Sjøl om man ikke klarer å løse slike oppgaver fullstendig kan man ofte finne ut en del ting om eventuelle løsninger ved bare å sette inn noen smarte verdier. Det er nok av folk på forumet her som er kapable til å få til noe; prøv da vel!
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Det skal sies at jeg ikke har mye erfaring med funksjonallikninger, men jeg prøver meg:

Vi har altså at [tex]f : \mathbb{R} \setminus \{0,1\} \map \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(x) + f(\frac{1}{1-x}) = 1 + \frac{1}{x(1-x)}[/tex]

Vi legger merke til at
[tex]f(\frac{1}{1-x}) + f(\frac{x-1}{x}) = 1 - \frac{(x-1)^2}{x} \\ f(\frac{x-1}{x}) + f(x) = 2 + x + \frac{1}{x-1} [/tex]

Vi lar, bare for oversiklighets skyld,
[tex]f(x) = a \\ f(\frac{1}{1-x}) = b \\ f(\frac{x-1}{x})=c[/tex]

Da får vi
[tex]a + b = 1 + \frac{1}{x(1-x)} \\ b + c = 1 - \frac{(x-1)^2}{x} \\ c + a = 2 + x + \frac{1}{x-1}[/tex]

Som vi kan løse for a og få:

[tex]f(x) = \frac{x^2+1}{x}[/tex]


Dette kan lett sjekkes å være konsistent med både b og c og de opprinnelige kriteriene.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Flott! Den enkle og gode løsninga.

Funksjonen på høyresida er egentlig ikke så interessant.

Post gjerne ei ny f-l om du har.
Svar