Integral 2

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Er jo ikke for mye aktivitet på disse sidene for tida.
Derfor presenterer jeg en liten integrasjonsoppgave som havner midt på treet, hva vanskelighetsgrad angår.

Løs integralet:

[tex]I\,=\, \int sqrt{1\,-\,x^2}\,{\rm dx}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Denne var jo liten og søt, og ordner seg med enkel trigonometrisk substitusjon.

[tex]x = \sin (u) \\ {\rm d}x = \cos (u) \ {\rm d} u[/tex]

[tex]\int \sqrt{1-x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos (u)\ {\rm d}u \qquad = \qquad \int \cos^2 (u) \ {\rm d} u \\ = \qquad \frac{1}{2}\int \cos (2u) + 1 \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{4}\sin(2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}\sin(u)\cos(u) + \frac{1}{2}u + C \qquad \\ = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin (x) + C[/tex]
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

daofeishi skrev:Denne var jo liten og søt, og ordner seg med enkel trigonometrisk substitusjon.
[tex]x = \sin (u) \\ {\rm d}x = \cos (u) \ {\rm d} u[/tex]
[tex]\int \sqrt{1-x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos (u)\ {\rm d}u \qquad = \qquad \int \cos^2 (u) \ {\rm d} u \\ = \qquad \frac{1}{2}\int \cos (2u) + 1 \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{4}\sin(2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}\sin(u)\cos(u) + \frac{1}{2}u + C \qquad \\ = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin (x) + C[/tex]
Jau da, grei skuring for deg dette... :)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
kalleja
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 02:57
Sted: Trondheim

[tex] Cos(u) = \sqrt{1-x^2} [/tex]

hvorfor?
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

[tex]\sin^2(u) + \cos^2(u) = 1 \Rightarrow \sin(u) = \sqrt{1-cos^2(u)} = x[/tex]
kalleja
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 02:57
Sted: Trondheim

æsj, den burde jeg klart selv :P takk.
Svar