Gjensyn med Gulvfunksjonen

[Charlatan]

Emomilol: Det jeg mener er at [tex]\lfloor 5 \rfloor \not = \lceil 5 \rceil + 1[/tex]

espen:

Vis at [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} 2n[/tex]

[tex]\lfloor 1 \rfloor \cdot \lceil 1 \rceil \not = \sum_{n=0}^{\lfloor 1 \rfloor} 2n[/tex]

[Emilga]

Hehe, det burde jeg ha sett. Men stemmer den (Espens sum) for alle [tex]x \geq 0,\, x\not \in \mathbb{N}[/tex]? (Når [tex]x\in \mathbb{N}[/tex] er jo [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = x^2[/tex])

[Charlatan]

Ja, da stemmer det.

[espen180]

Hehe, det burde jeg ha sett. Men stemmer den (Espens sum) for alle [tex]x \geq 0,\, x\not \in \mathbb{N}[/tex]? (Når [tex]x\in \mathbb{N}[/tex] er jo [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = x^2[/tex])

Glemte å skrive det i farten. La ut det innlegget rett før jeg dro til skolen.

[Gustav]

En kjedelig oppfølger:

Bevis: [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil} = 1[/tex]

Vi har at

[tex]\frac{\lceil x \rceil+1}{\lceil x \rceil}>\frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil}\geq \frac{\lfloor x \rfloor}{\lfloor x \rfloor +1}[/tex].


[tex]\frac{\lceil x \rceil+1}{\lceil x \rceil}\rightarrow 1[/tex] og

[tex]\frac{\lfloor x \rfloor}{\lfloor x \rfloor +1}\rightarrow 1[/tex]

når [tex]x\rightarrow \infty[/tex].

Skviseloven gir dermed at [tex]\frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil}\rightarrow 1[/tex] når [tex]x\rightarrow \infty[/tex].

[espen180]

Går det an å finne

[tex]I=\int_0^t \left\{x^2\right\}\rm{d}x[/tex]

tro?