Minst mulig arealsum
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
En wire med lengde L deles i to deler. Den ene delen bøyes til et kvadrat, og den andre til en likesida trekant. Avgjør hvordan wiren skal deles for at summen av de to arealene skal bli minst mulig.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Stemmer det at det kan bli noe så stygt som forholdet [tex]2\sqrt 3 \ : \ 2\sqrt 3 + 1[/tex] mellom lengden til kvadratet og lengden til trekanten?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
skal vi sjå....jeg sattVektormannen skrev:Stemmer det at det kan bli noe så stygt som forholdet [tex]2\sqrt 3 \ : \ 2\sqrt 3 + 1[/tex] mellom lengden til kvadratet og lengden til trekanten?
[tex]L=4a + 3s[/tex]
a: sidene i kvadratet
s: sidene i trekanten
da blei:[tex]\,\,\,\frac{a}{s}=\frac{18+8\sqrt3}{6(4+3\sqrt3)}[/tex]
evt
[tex]\frac{4a}{3s}={4\over 3}\cdot \left(\frac{18+8\sqrt3}{6(4+3\sqrt3)}\right)[/tex]
orker ikke engang å forkorte. Var vel en av disse du mente, antar jeg. Uansett begge avviker litt fra din...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Dum slurvefeil fra min side .. Jeg gjorde det slik:
Kaller lengden som blir brukt til firkanten for x og lengden av wiren for L. Da har vi at [tex]A_{firkant} = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{17}[/tex].
Sidene i trekanten blir [tex]\frac{L - x}{3}[/tex]. Arealet av en likesidet trekant er gitt ved [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}s^2[/tex] der s er sidelengdene. Da har vi altså at [tex]A_{trekant} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{L - x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}(L^2 - 2Lx + x^2)[/tex].
Legger vi sammen arealene og trekker i hop får vi at [tex]A = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{144} \cdot x^2 + \frac{\sqrt{3}}{36}L^2 - \frac{\sqrt{3}}{18}Lx[/tex]
Arealet er minst når A som funksjon av x har bunnpunkt. Deriverer A med hensyn på x og får at [tex]A^\prime(x) = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{72}x - \frac{\sqrt{3}}{18}L[/tex].
[tex]A^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\sqrt 3}{18}L \cdot \frac{72}{9 + 4 \sqrt 3} = \frac{4\sqrt 3}{9 + 4 \sqrt 3} \cdot L[/tex]
Så da blir forholdet mellom lengden til firkantdelen og lengden til trekantdelen altså [tex]4 \sqrt 3 \ : \ 9[/tex]
Kaller lengden som blir brukt til firkanten for x og lengden av wiren for L. Da har vi at [tex]A_{firkant} = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{17}[/tex].
Sidene i trekanten blir [tex]\frac{L - x}{3}[/tex]. Arealet av en likesidet trekant er gitt ved [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}s^2[/tex] der s er sidelengdene. Da har vi altså at [tex]A_{trekant} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{L - x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}(L^2 - 2Lx + x^2)[/tex].
Legger vi sammen arealene og trekker i hop får vi at [tex]A = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{144} \cdot x^2 + \frac{\sqrt{3}}{36}L^2 - \frac{\sqrt{3}}{18}Lx[/tex]
Arealet er minst når A som funksjon av x har bunnpunkt. Deriverer A med hensyn på x og får at [tex]A^\prime(x) = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{72}x - \frac{\sqrt{3}}{18}L[/tex].
[tex]A^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\sqrt 3}{18}L \cdot \frac{72}{9 + 4 \sqrt 3} = \frac{4\sqrt 3}{9 + 4 \sqrt 3} \cdot L[/tex]
Så da blir forholdet mellom lengden til firkantdelen og lengden til trekantdelen altså [tex]4 \sqrt 3 \ : \ 9[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer
