Geometri til folket

[Charlatan]

1)
En spissvinklet trekant [tex]ABC[/tex] med [tex]\angle BAC =30^\circ[/tex] er gitt.
Høydene B [tex]B_1[/tex] og [tex]C C_1[/tex] er tegnet;
[tex]B_2[/tex] og [tex]C_2[/tex] er midtpunktene på [tex]AC[/tex] og [tex]AB[/tex] respektivt.

Vis at [tex]B_1 C_2[/tex] og [tex]B_2 C_1[/tex] står vinkelrett på hverandre.

2)
Høyden [tex]CH[/tex] og medianen [tex]BK[/tex] er tegnet i en spissvinklet trekant [tex]ABC[/tex],
og du vet at [tex]BK=CH[/tex] og [tex]\angle KBC= \angle HCB[/tex].

Vis at trekanten [tex]ABC[/tex] er likesidet.

[BMB]

2)
Høyden [tex]CH[/tex] og medianen [tex]BK[/tex] er tegnet i en spissvinklet trekant [tex]ABC[/tex],
og du vet at [tex]BK=CH[/tex] og [tex]\angle KBC= \angle HCB[/tex].

Vis at trekanten [tex]ABC[/tex] er likesidet.

Jeg kaller for oversiktens skyld de to like vinklene for [tex]\alpha[/tex].

[tex]\angle BK=\angle CH, \angle KBC=\angle HCB \ \Rightarrow \ \Delta BHC \equiv \Delta CKB \ \Rightarrow \ \angle BHC= \angle CKB=90^\circ[/tex]

Siden både [tex]BK[/tex] og [tex]CH[/tex] er høyder i en spissvinklet trekant, vil de møtes inni trekanten. Kall dette skjæringspunktet for [tex]F[/tex]. Legg merke til følgende:

[tex]1) \ \ \angle BFH=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)=2 \alpha[/tex]

[tex]2*) \ \ \angle ABK=\angle KBC= \alpha[/tex]

Ser vi på [tex]\Delta BHF[/tex]: [tex]90^\circ+\alpha+2\alpha=180^\circ \ \Rightarrow \ \alpha=30^\circ \ \Rightarrow \ \angle B=60^\circ[/tex].

Nå er vi så å si i mål.

[tex]\Delta BHF \equiv \Delta CKF \ \Rightarrow \ \angle C=2\alpha=60^\circ[/tex]. Derfor må alle vinklene være [tex] \ 60^\circ[/tex], og trekanten er likesidet.

[tex]*[/tex] Fordi man kan vise at hvis en median også er en høyde, må den også være en vinkelhalveringslinje.

[Charlatan]

Jepp, er riktig det!

[BMB]

1)
En spissvinklet trekant [tex]ABC [/tex]med [tex]\angle BAC =30^\circ[/tex] er gitt.
Høydene [tex]B B_1[/tex] og [tex]C C_1[/tex] er tegnet;
[tex]B_2[/tex] og [tex]C_2[/tex] er midtpunktene på [tex]AC[/tex] og [tex]AB [/tex]respektivt.

Vis at [tex]B_1 C_2[/tex] og [tex]B_2 C_1[/tex] står vinkelrett på hverandre.

Så lenge man har ei god skisse, er oppgaven ganske grei.




[tex] \angle AB_1B=90^\circ \ \Rightarrow \ AC_2=C_2B_1=C_2B \ \Rightarrow \ \angle AB_1C_2=\angle BAC=30^\circ[/tex]

Med akkurat samme argumentasjon får vi [tex]\angle AC_1B_2=30^\circ[/tex]. Da følger det at [tex]\angle CB_2C_1=60^\circ[/tex].

Da er vi i mål, ettersom en trekant med vinkler på 30 og 60 grader også må ha en på 90 grader. Derfor står [tex]B_1C_2[/tex] og [tex]B_2C_1[/tex] vinkelrett på hverandre.