Grei vgs oppgave

[Janhaa]

Noen forbrytere hadde ranet til seg diamanter.
Siden alle diamantene var like store og kostbare, foreslo J. at de skulle dele dem likt mellom seg.
Y. sa: ”nei, for da blir det én diamant til overs.”
R. sa: ”det vil gå opp hvis en person forlot oss”
N. sa: ”Ja, og hvis vi hadde hatt én person til, ville alle fått like mange diamanter som det hadde vært personer i gruppa.”
Hvor stor var banden og hvor mange diamanter hadde de til sammen?

[Emilga]

(Jeg er ikke stødig i modulær aritmetikk, men la gå ...)
Vi lar det være x antall diamanter, og y antall forbrytere.

Vi ser at [tex]x \eq 1 \,mod\,y[/tex], [tex]x \eq 0\,mod\,(y-1)[/tex] og [tex]\frac x{y+1} = y+1 \,\,\,\Rightarrow x = (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1[/tex].

[tex]x \eq 1 \,mod\,y[/tex]

[tex]y^2 + 2y + 1 \eq 1 \,mod\,y[/tex]

[tex]y(y+2) \eq 0 \,mod\,y[/tex]

[tex]y + 2 \eq 0 \,mod\,y[/tex]

[tex]2 \eq 0 \,mod\,y \,\,\,\Rightarrow y = 2[/tex] (y kan ikke være 1, da de snakker i flertall i oppgaven.)

Når [tex]y = 2[/tex] må [tex]x = 9[/tex]. Det er altså to forbrytere og 9 diamanter. Jeg vil ikke spekulere rundt det fulle navnet til mister «J.».

[Janhaa]

Jeg burde vel opplyst om at[tex]\,\,x,\,y\,\,\in \,\mathbb{Z^+}[/tex]

ellers fint forsøk.

-----------------
EDIT; jeg skreiv feil. Men svaret ditt stemmer ikke allikevel Emomilol. Det er flere diamanter og forbrytere!

[Magnus]

Emomilol: bruk \pmod{n} for mod n.

[tex]x \equiv 3 \pmod{5}[/tex]

[Vektormannen]

Jeg prøver meg ... kaller antall forbrytere for f og antall diamanter for d. Opplysningen om at hvis de var en forbryter til ville de fått akkurat like mange diamanter hver som de var forbrytere, gir som Emomilol bruker, at [tex]d = (f+1)^2[/tex], siden [tex]\frac{d}{f+1} = f+1[/tex].

Det vil alltid gjelde at det er en diamant til overs når det er [tex]d=(f+1)^2[/tex] diamanter og f forbrytere, siden [tex](f+1)^2 - 1 = f(f+2)[/tex], som er delelig med f.

Opplysningen om at det går opp dersom de er en forbryter mindre, gir at [tex]\frac{(f+1)^2}{f-1}[/tex] må være et naturlig tall. Vi setter u = f-1. Da har vi at [tex]\frac{(u+2)^2}{u} = \frac{u^2 + 4u + 4}{u} = u + 4 + \frac{4}{u}[/tex]. Dette er bare et naturlig tall når [tex]\frac{4}{u}[/tex] er et naturlig tall. Det gir at u er 1, 2, eller 4. Men oppgaveteksten nevner fire forbrytere, så det er bare u = 4 som er mulig. Det gir at det er f = 5 forbrytere og [tex]d = (5+1)^2 = 36[/tex] diamanter.

Stemmer dette?

[Janhaa]

Jada, fine greier...

[haakon1202]

kan jo også være 3 forbryterer med 16 diamater...

[Vektormannen]

Nei, oppgaveteksten nevner jo fire forbrytere (slik jeg tolker det hvertfall). Men hvis vi ser bort fra dette kan det være 2 forbrytere og 9, 3 forbrytere og 16 diamanter, eller 5 forbrytere og 36 diamanter.

[Janhaa]

kan jo også være 3 forbryterer med 16 diamater...

Nei, oppgava opplyser om minst 4 forbrytere (y). Der x er ant diamanter. Jeg løste oppgava "manuelt" omtrent som Vektormannen. Imidlertid kan vel kongruenslikningssystemet settes opp;

[tex]x \equiv 1 \pmod{y}[/tex]

[tex]x \equiv 0 \pmod{y-1}[/tex]

[tex]x \equiv 0 \pmod{y+1}[/tex]

slik at [tex]\,\,x=(y+1)^2[/tex]

dette er bare oppfylt for x = 36 og y = 5.