Integralkalenderen

[drgz]

Pluss en integrasjonskonstant.

sant, den tenkte jeg ikke på i det hele tatt

har du løsning for [tex]I_{24_{b}}[/tex]?

jeg kommer bare til dette uttrykket (og ikke lenger):

[tex]I_{24_{b}} = \int \frac{ln(sin(x))}{sin(x)}\rm{d}x = 2i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}-e^{-ix}}\rm{d}x = i \int \frac{2e^ {ix}\left(ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)\right)}{e^{i2x}-1}\rm{d}x = i \int \frac{\left(ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)\right)\left(e^{ix}+1+e^{ix}-1\right)}{(e^{ix}+1)(e^{ix}-1)}\rm{d}x = i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}-1}\rm{d}x + i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}+1}\rm{d}x[/tex]

herfra klarer jeg å finne integralet av leddene som er [tex]\int \frac{ln(2i)}{e^{ix}\pm 1}\rm{d}x[/tex]
men de to andre leddene får jeg dessverre ikke til

prøvde meg på denne manipulasjonen av telleren i de to siste delintegralene jeg ikke klarer å regne ut:

[tex]ln(e^{ix}-e^{-ix})=ln\left(e^{-ix}(e^{i2x}-1)\right)=ln(e^{-ix})+ln(e^{i2x}-1)=-ix+ln(e^{i2x}-1)[/tex], men kommer allikevel ikke i mål.

tar gjerne i mot hjelp / tips til enklere måter å gå frem på

[espen180]

Jeg vet ikke hvilken fremgangsmåte som er lettest/best å bruke, men å se på svaret kan ofte være til hjelp, som en siste utvei.

[drgz]

tror jeg må kaste inn håndkleet på den siste der, uansett hva jeg prøver på så blir det bare tull, og jeg tviler på at jeg er i nærheten av det korrekte svaret

[Mari89]

Veit at jula er sånn halvveis over, men kaster inn et greit et til de på vgs

[tex]\int tan^2 x dx[/tex]

Den var søt, hva? Løst her før, men ikke se.

[espen180]

Joda, søt den.

Løses seg selv om man kan noen trigonometeriske identiteter.

[tex]I=\int tan^2x\rm{d}x=\int tan^2x +1 -1 \rm{d}x=\int tan^2x+1\rm{d}x-\int \rm{d}x=tan\,x-x+C[/tex]

[Mari89]

Hehe, rene barnematen for deg, det, Espen

[espen180]

En i samme gate som du kan prøve deg på, Mari. Kanhende litt vanskeligere enn det du la ut, men vgs-elever skal kunne få det til, evt. ved å tenke seg om litt.

[tex]I=\int sin^2(x)\rm{d}x[/tex]

[zell]

The magic of "omskriving"

[tex]\cos^2{x}+\sin^2{x} = 1[/tex]

[tex]\cos{(2x)} = \cos^2{x}-\sin^2{x}[/tex]

[tex]\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}[/tex]

[tex]\cos{(2x)} = 1-2\sin^2{x} \ \Rightarrow \ \sin^2{x} = \frac{1-\cos{(2x)}}{2}[/tex]

Vi får:

[tex]\int\sin^2{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int 1-\cos{(2x)}\rm{d}x = \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin{(2x)}) + C[/tex]

[espen180]

EDIT:

Riktig det, zell.

[Mari89]

Var ferdig på VGS i fjor, så holder på med litt "verre" integraler nå:) Trigonometriske substitusjoner, delbrøk osv er jo litt artig

[zell]

Hvis du er glad i delbrøk er jo dette et flott integral:

[tex]\int\frac{\rm{d}x}{\sin{x}}[/tex]

[Janhaa]

Hvis du er glad i delbrøk er jo dette et flott integral:
[tex]\int\frac{\rm{d}x}{\sin{x}}[/tex]

denne kan også løses uten delbrøk., men vha trigonometrisk substitusjon.

[tex]t=\tan(x/2)[/tex]
der
[tex] dx = \frac{2\,dt}{1+t^2} [/tex]
og
[tex]\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
-----------------------------

[tex]I=\int \frac{1}{\sin(x)}\,dx=\int \left(\frac{1+t^2}{2t}\right)\cdot \left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt=\int \frac{dt}{t}=\ln|t|\,+\,C=\ln|\tan(x/2)|\,+\,C[/tex]

noen kan også løse den med delbrøk, og sammenligne svarene...

[Mari89]

[tex]I=\int \frac{dx}{sin x}=\int \frac{sin x}{sin^2x}dx=\int \frac{sin x}{1-cos^2x}dx \\ u=cos x , du=-sin x dx , dx=-\frac{du}{sin x} \\ I=-\int \frac{du}{1-u^2}=-\int \frac{du}{(1-u)(1+u)}=-\int (\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u})du \\ [/tex]

Delbrøkoppspaltning gir

[tex]A=-\frac{1}{2} , B=\frac{1}{2} \\ I=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u})du=\frac{1}{2}(ln|1-u|-ln|1+u|)+C=\frac{1}{2}ln|\frac{1-cos x}{1+cos x}|+C[/tex]


En annen måte (uten delbrøk) er vel å bruke at 1/(sin x) = csc x

[espen180]

Kan du vise hvordan du kom fram til koeffisientene i delbrøkoppspaltingen?

[drgz]

Kan du vise hvordan du kom fram til koeffisientene i delbrøkoppspaltingen?

residue (eller hvordan det skrives) regning?

[tex]f(u) = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}[/tex]

[tex]A = f(u)(1-u)|_{u=1} = \frac{1}{1+u}|_{u=1}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]B = f(u)(1+u)|_{u=-1} = \frac{1}{1-u}|_{u=-1}=\frac{1}{2}[/tex]

eller var det meningen at mari skulle svare?