Anta at [tex]p_j \geq 0[/tex] for alle j = 1, 2, ..., n og at [tex]p_1 + p_2 + ... + p_2 = 1[/tex]. Vis at dersom [tex]a_j[/tex] og [tex]b_j[/tex] er ikke-negative reelle tall som tilfredsstiller begrensningen [tex]1 \leq a_j b_j[/tex] for alle j = 1, 2, ..., n, så gjelder følgende ulikhet:
[tex]1 \leq \left{ \sum _{j = 1}^n p_j a_j \right} \left{ \sum _{j=1}^n p_j b_j \right}[/tex]
Ulikhet for gjennomsnitt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ved Cauchy-Schwartz ulikheten har du at:
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j a_j \right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j \right} \geq \left{\sum_{j=1}^n (\sqrt {p_j a_j} \cdot \sqrt {p_j b_j} ) \right }^2= \left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2[/tex]
[tex]1 \leq a_j b_j[/tex] er ekvivialent med [tex]1 \leq \sqrt{a_j b_j}[/tex] da [tex]a_j , b_j \geq 0[/tex]
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2 \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j \right}^2=1[/tex]
Dette burde vel stemme...
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j a_j \right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j \right} \geq \left{\sum_{j=1}^n (\sqrt {p_j a_j} \cdot \sqrt {p_j b_j} ) \right }^2= \left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2[/tex]
[tex]1 \leq a_j b_j[/tex] er ekvivialent med [tex]1 \leq \sqrt{a_j b_j}[/tex] da [tex]a_j , b_j \geq 0[/tex]
[tex]\left{\sum_{j=1}^n p_j \sqrt{a_j b_j} \right}^2 \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j \right}^2=1[/tex]
Dette burde vel stemme...
Oppfølger: La [tex]m = a_1 < a_2 < ... < a_n = M[/tex] og [tex]a_jb_j = 1[/tex]
Vis at
[tex]\left{ \sum _{j=1}^n p_j a_j \right} \left{ \sum _{j=1} ^n p_jb_j \right} \leq \frac{\mu^2}{\gamma^2}[/tex]
der [tex]\mu = \frac{m + M}{2}[/tex] og [tex]\gamma = \sqrt{m M}[/tex] (som man kan kjenne igjen som det aritmetiske og geometriske snitt, respektivt.)
Vis at
[tex]\left{ \sum _{j=1}^n p_j a_j \right} \left{ \sum _{j=1} ^n p_jb_j \right} \leq \frac{\mu^2}{\gamma^2}[/tex]
der [tex]\mu = \frac{m + M}{2}[/tex] og [tex]\gamma = \sqrt{m M}[/tex] (som man kan kjenne igjen som det aritmetiske og geometriske snitt, respektivt.)
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Chebyshev og QM-AM duger også:
[tex]\sum p_ja_j\cdot\sum p_jb_j\ge\sum p_ja_j\cdot\sum p_j\cdot\frac1{a_j}\ge n\sum p_j^2\ge (\sum p_j)^2 = 1[/tex]
[tex]\sum p_ja_j\cdot\sum p_jb_j\ge\sum p_ja_j\cdot\sum p_j\cdot\frac1{a_j}\ge n\sum p_j^2\ge (\sum p_j)^2 = 1[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Så irriterende kan det ikke ha vært om du gir opp etter 3 dager?
så hva jeg gjorde feil! Mener å ha løst oppgaven. Skal legge ut løsningen min så snart som mulig. (rekker det nok ikke i dag...)-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Snubla over nok et bevis på den første mens jeg forsøkte meg på den andre.
Hvis [tex]a_j b_j \geq 1[/tex], har vi jo.
[tex]\displaystyle \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j\right} \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right} \left{\sum_{j=1}^n p_j \frac {1}{a_j}\right} = AM\cdot HM^{-1} \geq GM \cdot GM^{-1} = 1[/tex]
Syntes den var ganske fin.
På den andre kommer jeg dessverre ikke helt i mål.
Hvis [tex]a_j b_j \geq 1[/tex], har vi jo.
[tex]\displaystyle \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right}\left{\sum_{j=1}^n p_j b_j\right} \geq \left{\sum_{j=1}^n p_j a_j\right} \left{\sum_{j=1}^n p_j \frac {1}{a_j}\right} = AM\cdot HM^{-1} \geq GM \cdot GM^{-1} = 1[/tex]
Syntes den var ganske fin.
På den andre kommer jeg dessverre ikke helt i mål.