Algebraisk problem

[daofeishi]

Tom velger et polynom p av hvilken som helst grad med ikke-negative koeffisienter. Sally hevder hun kan spørre Tom om kun to verdier av p, og fortelle Tom alle koeffisienter i polynomet hans. Hun spør om p(1) og p(p(1) + 1). Dersom p(1) = 10 og p(11) = 46610, hva er polynomet, og hvordan vet Sally dette?

[Solar Plexsus]

Her skal vel p(x) være et polynom med ikke-negative heltallige koeffisienter? I så fall er dette ganske enkelt: La grad(p(x)) = n. Da finnes det koeffisienter [tex]c_k[/tex] som er naturlige tall slik at

[tex](1) \;\; P(x) \: = \: \sum_{k=0}^n c_k \, x^k.[/tex]

Nå er

[tex](2) \;\;10 \: = P(1) \: = \: \sum_{k=0}^n c_k[/tex]

ifølge (1). I.o.m. at [tex]c_k \in {\bf N},[/tex] må [tex]n \leq 10[/tex] iht. (2). Ergo vil [tex]c_k \leq 10.[/tex] Dette i kombinasjon med at

[tex]46610 \:=\: P(11) \: = \: \sum_{k=0}^n c_k \, 11^k[/tex]

og

[tex]46610 \: = \: 3 \cdot 11^4 \,+\, 2 \cdot 11^3 \,+\, 0 \cdot 11^2 \,+\, 2 \cdot 11^1 \,+\, 3 \cdot 11^0[/tex]

medfører at [tex]n = 4[/tex] og [tex]c_4 = c_0 = 3, \; c_3 = c_1 = 2, \; c_2 = 0.[/tex] M.a.o er

[tex]P(x) \: = \: 3x^4 \,+\, 2x^3 \,+\, 2x \,+\, 3.[/tex]