Integral 2

[Janhaa]

Er jo ikke for mye aktivitet på disse sidene for tida.
Derfor presenterer jeg en liten integrasjonsoppgave som havner midt på treet, hva vanskelighetsgrad angår.

Løs integralet:

[tex]I\,=\, \int sqrt{1\,-\,x^2}\,{\rm dx}[/tex]

[daofeishi]

Denne var jo liten og søt, og ordner seg med enkel trigonometrisk substitusjon.

[tex]x = \sin (u) \\ {\rm d}x = \cos (u) \ {\rm d} u[/tex]

[tex]\int \sqrt{1-x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos (u)\ {\rm d}u \qquad = \qquad \int \cos^2 (u) \ {\rm d} u \\ = \qquad \frac{1}{2}\int \cos (2u) + 1 \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{4}\sin(2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}\sin(u)\cos(u) + \frac{1}{2}u + C \qquad \\ = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin (x) + C[/tex]

[Janhaa]

Denne var jo liten og søt, og ordner seg med enkel trigonometrisk substitusjon.
[tex]x = \sin (u) \\ {\rm d}x = \cos (u) \ {\rm d} u[/tex]
[tex]\int \sqrt{1-x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos (u)\ {\rm d}u \qquad = \qquad \int \cos^2 (u) \ {\rm d} u \\ = \qquad \frac{1}{2}\int \cos (2u) + 1 \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{4}\sin(2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}\sin(u)\cos(u) + \frac{1}{2}u + C \qquad \\ = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin (x) + C[/tex]

Jau da, grei skuring for deg dette...

[kalleja]

[tex] Cos(u) = \sqrt{1-x^2} [/tex]

hvorfor?

[Magnus]

[tex]\sin^2(u) + \cos^2(u) = 1 \Rightarrow \sin(u) = \sqrt{1-cos^2(u)} = x[/tex]

[kalleja]

æsj, den burde jeg klart selv takk.