Tallteorimaraton

[lfe]

Ny oppgave:
Vis at det eksisterer uendelig mange \(n \in \mathbb{N}\) slik at \(n^2+1\) har en divisor \(d\) slik at \(d+n\mid n^2+1\).

[Lil_Flip39]

Vi viser en sterkere påstand, nemlig at det er uendelig mange \(n\in\mathbb{N}\) slik at \(n^2+1\) har en divisor \(d\) slik at \(d(d+n)=n^2+1\). Hvis vi ser på dette som en andregrads likning med hensyn til \(d\), har vi at \(d^2+dn-n^2-1=0\). Vi vil finne uendelig mange \(n\) slik at dette har en positiv heltallsløsning. Av abc formelen, har vi \(d=\frac{-b\pm \sqrt{5n^2+4}}{2}\), så vi vil essensielt vise at
\[k^2-5n^2=4\]
har uendelig mange løsninger, men dette er et spesieltilfelle av den generaliserte pell's likningen, og det er trivielt å finne en løsning til denne, og man kan generere uendelig mange løsninger \((x,y)\) definert rekursivt med \((\frac{5y-x}{2},\frac{x-y}{2})\). Det er lett å verifisere at alle genererte tall er ikkenegative heltall, så vi vil naturligvis da ha uendelig mange \(n\) slik at \(\sqrt{5n^2+4}\in \mathbb{N}\). Da er det lett å se at \(\sqrt{5n^2+4}\) og \(n\) har lik paritet, og at \(\sqrt{5n^2+4}>n\) så \(d\in \mathbb{N}\), så vi er ferdige.

[Lil_Flip39]

La \(x_1,x_2.....\) være en følge av positive heltall slik at for alle par av positive heltall \((m,n)\), \(x_{mn}\neq x_{m(n+1)}\). Vis at det eksisterer en \(i\) slik at \(x_i>2025\).