Finn pyramiden

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
LAMBRIDA
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 249
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Denne oppgaven går ut på å finne en av mange trekanta rette pyramider som har både sidekanter og høyde i hele tall. Betingelsene må være at pyramiden må ha trekanta likesidet grunnflate med sidekanter 1 cm kortere enn de øvrige sidekantene i pyramiden. I intervallet av slike pyramider med høyde og alle sidekanter i hele tall, så vil en pyramide inntreffe som har en høyde nøyaktig 23 cm kortere enn grunnflatens sidekanter. Hvilken høyde har den pyramiden?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1684
Registrert: 03/10-2005 12:09

I denne pyramiden er grunnflate en likesidet trekant $ABC$ med sidelengde $x$ og sidekanter av lengde $x+1$.

Høyden $h$ er avstanden fra toppen $T$ på pyramiden til fotpunktet $S$ i grunnflata. La $D$ være fotpunktet for normalen fra $S$ på $AB$. Da er trekant $ADS$ rettvinklet der $\angle ADS = 90^{\circ}$, $\angle DAS = 30^{\circ}$ og ${\textstyle AD = \frac{x}{2}}$. Følgelig er

$AS = \frac{AD}{\cos 30^{\circ}} = \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Videre er trekant $AST$ en rettvinklet trekant med hypotenu $AT$ og katet $AS$. Pyagorassetningen gir at $h$ er

${\textstyle h^2 = ST^2 = AT^2 - AS^2 = (x + 1)^2 - (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2}{3}x^2 + 2x + 1}$.

Nå er $h = x-23$, som medfører at

$3(x - 23)^2 = 2x^2 + 6x + 3$
$x^2 - 144x + 1584 = 0$
$(x - 12)(x - 132) = 0$

Altså er $x=132$ (siden $h=x-23$ betyr at $x>23$). Dermed er høyden i pyramiden

$h = x - 23 = 132 - 23 = 109$.
LAMBRIDA
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 249
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Takk for flott løsning og rett svar.

Viss vi heller bruker 241 cm istedet for 23 cm, så har den nye pyramiden en høyde på 1079 cm, og er den neste i rekken, etter mine beregninger. Det er gjerne logisk å tro at rekken av slike pyramider fortsetter.
Svar