Kvartsirkel og grønt-areal

[Janhaa]

Figuren viser 1 kvartsirkel med 5 stolper. Annenhver hvit og grønn stolpe.
Oppgava er rett og slett å finne det grønne arealet.

B0F0D4E1-7FD5-43FB-AF9E-F5EEFE0C9569.jpeg (384.73 kiB) Vist 44486 ganger

[Mattebruker]

Problemet er løsbart dersom kvartsirkelen delast inn i 5 like store bogar lik 18[tex]^{0}[/tex].
Kan Janhaa stadfeste eller avkrefte om denne problemstillinga er korrekt ?

[Janhaa]

Problemet er løsbart dersom kvartsirkelen delast inn i 5 like store bogar lik 18[tex]^{0}[/tex].
Kan Janhaa stadfeste eller avkrefte om denne problemstillinga er korrekt ?

Ja, de 5 prikkene deler 90 graders vinkelen i 5 like deler/buer.


Edit

[Aleks855]

Fort, gæli, og uelegant så tenker jeg bare at

$$A = \int_{10\cos(72^\circ)}^{10\cos(54^\circ)}\sqrt{100-x^2} \mathrm dx + \int_{10\cos(36^\circ)}^{10\cos(18^\circ)} \sqrt{100-x^2} \mathrm dx = 10\pi \mathrm{cm}^2$$

[Janhaa]

Fort, gæli, og uelegant så tenker jeg bare at

$$A = \int_{10\cos(72^\circ)}^{10\cos(54^\circ)}\sqrt{100-x^2} \mathrm dx + \int_{10\cos(36^\circ)}^{10\cos(18^\circ)} \sqrt{100-x^2} \mathrm dx = 10\pi \mathrm{cm}^2$$

Det var kanskje fort, men ikke gæli. Helt korrekt. Jeg synes integralregning er elegant - brukte det jeg også.
Men jeg funderer på om der ikke eksisterer en fiffig løsning, som ikke jeg har funnet ennå.

[Aleks855]

Jeg hadde vært tilfreds med å se en analytisk utregning av integralene. Jeg måtte gå den numeriske veien med Simpsons, og fant tilfeldigvis et tall som likna på $10\pi$, men det betyr jo at jeg EGENTLIG ikke har bevist at svaret er NØYAKTIG lik $10\pi$.

[Mattebruker]

Kvart av dei grøne felta kan delast opp i eit trapes og eit sirkelsegment på 18[tex]^{0}[/tex].

Areal (sirkelsegment ) = Areal( sirkelsektor 18[tex]^{0}[/tex] ) - areal( likebeina trekant ) = 100[tex]\pi[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{18}{360}[/tex] - [tex]\frac{2\cdot 10\cdot sin9^{0}\cdot 10\cdot cos9^{0}}{2}[/tex] = 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18[tex]^{0}[/tex]

Areal ( store trapes ) = [tex]\frac{10\cdot sin72^{0} + 10\cdot sin54^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex]( 10 cos54[tex]^{0}[/tex] - 10 cos72[tex]^{0}[/tex] ) = 50 ( sin72[tex]^{0}[/tex] + sin54[tex]^{0}[/tex] ) ( cos54[tex]^{0}[/tex] - cos72[tex]^{0}[/tex] )


Areal ( vesle trapes ) = [tex]\frac{10 sin 36^{0} + 10 sin 18^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ( 10 cos18[tex]^{0}[/tex] - 10 cos36[tex]^{0}[/tex] ) = 50( sin36[tex]^{0}[/tex] + sin18[tex]^{0}[/tex])( cos18[tex]^{0}[/tex] - cos36[tex]^{0}[/tex] )


Samla areal( grønt felt ) = Areal ( store trapes ) + Areal( vesle trapes ) + 2 [tex]\cdot[/tex] areal( sirkelsegment )

= 50 ( sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 ) + 2 ( 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18 ) = ( kan relativt lett vise at uttrykket inne i den store parantesen er lik 2[tex]\cdot[/tex] sin18 ) = 10 [tex]\pi[/tex] ( s. s. v )

[Mattebruker]

I mitt forrige innlegg stod det att å vise at

sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 = 2[tex]\cdot[/tex] sin18

Overlet her med dette problemet til lesaren !

[Janhaa]

Kvart av dei grøne felta kan delast opp i eit trapes og eit sirkelsegment på 18[tex]^{0}[/tex].

Areal (sirkelsegment ) = Areal( sirkelsektor 18[tex]^{0}[/tex] ) - areal( likebeina trekant ) = 100[tex]\pi[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{18}{360}[/tex] - [tex]\frac{2\cdot 10\cdot sin9^{0}\cdot 10\cdot cos9^{0}}{2}[/tex] = 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18[tex]^{0}[/tex]

Areal ( store trapes ) = [tex]\frac{10\cdot sin72^{0} + 10\cdot sin54^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex]( 10 cos54[tex]^{0}[/tex] - 10 cos72[tex]^{0}[/tex] ) = 50 ( sin72[tex]^{0}[/tex] + sin54[tex]^{0}[/tex] ) ( cos54[tex]^{0}[/tex] - cos72[tex]^{0}[/tex] )


Areal ( vesle trapes ) = [tex]\frac{10 sin 36^{0} + 10 sin 18^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ( 10 cos18[tex]^{0}[/tex] - 10 cos36[tex]^{0}[/tex] ) = 50( sin36[tex]^{0}[/tex] + sin18[tex]^{0}[/tex])( cos18[tex]^{0}[/tex] - cos36[tex]^{0}[/tex] )


Samla areal( grønt felt ) = Areal ( store trapes ) + Areal( vesle trapes ) + 2 [tex]\cdot[/tex] areal( sirkelsegment )

= 50 ( sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 ) + 2 ( 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18 ) = ( kan relativt lett vise at uttrykket inne i den store parantesen er lik 2[tex]\cdot[/tex] sin18 ) = 10 [tex]\pi[/tex] ( s. s. v )

Takk for bidraget og fin og omstendelig løsning.
Allikevel trur jeg det finnes enda en mer fiffig og «enklere» løsning.
Jeg får ikke helt tak i den, men mener den har 1 viss relasjon til Keplers 2. lov.
Uten sammenlikning forøvrig.!

Bare kom med forslag til løsninger folkens. Gustav!?