finn heltallskombinasjonen/(ene) a,b som tilfredsstiller likningen
[tex]a^bb^a=xzy4[/tex] , der x,z,y er postive heltall
Potens nøtt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Mattebruker
Problemet har openbart to løysingar: a = 3 [tex]\wedge[/tex] b = 4 eller a = 4 [tex]\wedge[/tex] b = 3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] xyz4 = 5184
-
ABEL1
Mattegjest skrev:Problemet har openbart to løysingar: a = 3 [tex]\wedge[/tex] b = 4 eller a = 4 [tex]\wedge[/tex] b = 3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] xyz4 = 5184
Delvis riktig
Det finnes flere mulige kombinasjoner, utfordringen er å argumentere for hvilke som passer..
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1686
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi har gitt to heltall a,b>1 som tilfredsstiller likningen
$(1) \;\; a^b \cdot b^a = xyz4$.
Vi kan uten tap av generalitet (siden a og b er symmetrisk i likning (1)) anta at $a \leq b$.
Anta at a=b. Da har vi ifølge likning (1)
$500 < a^a < 5000$,
som har a=5 som eneste løsning. Men ettersom
$2 \cdot 5^5 = 6250$,
har likning (1) ingen løsning når a=b.
Følgelig må a<b.
Dernest antar vi at a=2. Denne a-verdien innsatt i likning (1) gir
$1000 < 2^b \cdot b^2 < 10000$,
som impliserer at 5<b<8. Ved å velge b=6 får vi at
$2^b \cdot b^2 = 2^6 \cdot 6^2 = 64 \cdot 36 = 2304$
mens b=7 gir
$2^b \cdot b^2 = 2^7 \cdot 7^2 = 128 \cdot 49 = 6272$.
Så b=6 er eneste løsning av likning (1) når a=2.
La oss til slutt anta at a>2. Dette kombinert med likning (1) gir
$100^2 = 10000 > a^b \cdot b^a > b^a \cdot b^a = (b^a)^2$,
som medfører at
$(2) \;\; b^a < 100$.
I og med at 2<a<b, må
$4^a < 100$,
som gir a=3. Med andre ord, hvis a>2, er (a,b)=(3,4) eneste løsning av likning (1).
Konklusjon: Likning (1) har fire løsninger, nemlig (a,b) = (2,6), (6,2), (3,4), (4,3).
$(1) \;\; a^b \cdot b^a = xyz4$.
Vi kan uten tap av generalitet (siden a og b er symmetrisk i likning (1)) anta at $a \leq b$.
Anta at a=b. Da har vi ifølge likning (1)
$500 < a^a < 5000$,
som har a=5 som eneste løsning. Men ettersom
$2 \cdot 5^5 = 6250$,
har likning (1) ingen løsning når a=b.
Følgelig må a<b.
Dernest antar vi at a=2. Denne a-verdien innsatt i likning (1) gir
$1000 < 2^b \cdot b^2 < 10000$,
som impliserer at 5<b<8. Ved å velge b=6 får vi at
$2^b \cdot b^2 = 2^6 \cdot 6^2 = 64 \cdot 36 = 2304$
mens b=7 gir
$2^b \cdot b^2 = 2^7 \cdot 7^2 = 128 \cdot 49 = 6272$.
Så b=6 er eneste løsning av likning (1) når a=2.
La oss til slutt anta at a>2. Dette kombinert med likning (1) gir
$100^2 = 10000 > a^b \cdot b^a > b^a \cdot b^a = (b^a)^2$,
som medfører at
$(2) \;\; b^a < 100$.
I og med at 2<a<b, må
$4^a < 100$,
som gir a=3. Med andre ord, hvis a>2, er (a,b)=(3,4) eneste løsning av likning (1).
Konklusjon: Likning (1) har fire løsninger, nemlig (a,b) = (2,6), (6,2), (3,4), (4,3).