areal av rosa figur

[Janhaa]

rosa-areal.PNG (199.87 kiB) Vist 4646 ganger

Finn det rosa arealet av figuren over. "Avrundet kvadrat":

[Gustav]

$A=4\frac{(\Gamma (\frac54))^2}{\Gamma (\frac32)}$

[Janhaa]

$A=4\frac{(\Gamma (\frac54))^2}{\Gamma (\frac32)}$

Ja, stemmer det.
Figuren kalles en super-ellipse.
Og arealet kan finnes ved, pga symmetri:

[tex]A=4\int_0^1(1-x^4)^{1/4}\,dx\\[/tex]


Bruker:
[tex]u=x^4[/tex]
etc, slik at:

[tex]A=4\int_0^1 \frac{(1-u)^{1/4}}{4u^{3/4}}\,du[/tex]

[tex]A=\int_0^1 (1-u)^{1/4}u^{-3/4}\,du[/tex]

[tex]A=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})*\Gamma(\frac{5}{4})}{\Gamma(\frac{3}{2})}[/tex]

[tex]A=2\frac{\Gamma(\frac{1}{4})*\Gamma(\frac{5}{4})}{\sqrt{\pi}}[/tex]

kan uttrykkes på flere måter, også som Gustav sin.
DVs
[tex]A\approx 3,71[/tex]

og dette stemmer jo sånn ok, mtp at super-ellipsen "likner" et kvadrat med sidene 2, og areal lik 4.