Atter en geometri-nøtt

[Gustav]

Et punkt $P$ innenfor en trekant er gitt. Gjennom $P$ trekkes tre linjer parallelle med sidekantene i trekanten, slik at de skraverte arealene vist i figuren har arealer $4$, $9$ og $49$. Bestem arealet av den store trekanten.

[Kristian Saug]

[tex]A=144[/tex]

[Janhaa]

[tex]A=144[/tex]

Jeg fikk også [tex]\,\,A = 144[/tex]

Trekantene med areal hhv 4, 9, 49 og den største er formlike. Ser derfor på forholdet mellom grunnlinja kvadrert og areal trekantene i mellom.
Med litt algebra gir dette[tex]\,\,A=12^2=144.[/tex]

edit.

[Mattebruker]

Alternativ løysing:

Kan relativt lett vise at det øverste parallellogrammet har areal A[tex]_{1}[/tex] = 12 ,
parallellogrammet nede til venstre A[tex]_{2}[/tex] = 42 og nede til høgre A[tex]_{3}[/tex] = 28.

Sumareal A = 12 + 42 + 28 + 62 ( skravert område ) = 144

Men dette er kanskje ei tungvint løysing samanlikna med Janhaa ( forstod ikkje heilt framgangsmåten ) .

[Gustav]

Som Janhaa skriver så er alle trekantene formlike, og arealene $A_i$ er derfor proporsjonale med kvadratet av grunnlinjene $g_i$, dvs. $A_i=kg_i^2$. $A_1=kg_1^2=4$, $A_2=kg_2^2=9$, $A_3=kg_3^2=49$. Siden grunnlinjen til den store trekanten er $g_1+g_2+g_3$, er arealet av den store trekanten $k(g_1+g_2+g_3)^2=k(\frac{2}{\sqrt{k}}+\frac{3}{\sqrt{k}}+\frac{7}{\sqrt{k}})^2=12^2=144$

[Mattebruker]

Enkel og elegant løysing !

[Janhaa]

Enkel og elegant løysing !

Ja, og fin oppgave :=)