Kvadratiske tall

[Markus]

Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.

[Solar Plexsus]

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1.

Dette betyr at alle partall > 2 er kvadratiske.

På samme måte legger vi et kvadrat med sidelengde 2k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat av sidelengde 2 pluss et kvadrat av sidelengde 2 der et av hjørnene er H. Dette kvadratet deles så i 4 kvadrat av sidelengde 1. Dermed får vi 2k+5 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde 2k+2.

Dette betyr at alle oddetall > 5 er kvadratiske.

Følgelig gjenstår det å avgjøre om tallene 1,2,3 og 5 er kvadratiske.

Tallet 1 er åpenbart kvadratisk.

For tallene 2, 3 og 5 kan vi finne ut hva som kreves for å danne et rektangel bestående av hhv. 2, 3 og 5 kvadrater.

Er tallet 2, må rektanglet bestå av to kvadrat med samme sidelengde. Så forholdet mellom den korteste og lengste siden i rektanglet 1:2. Altså er 2 ikke kvadratisk.

Er tallet 3, må rektanglet bestå av tre kvadrater med sidelengde k, k og 2k, som innebærer at forholdet mellom korteste og lengste side i rektanglet 2:3. Følgelig er 3 ikke kvadratisk.

Anta til slutt at tallet er 5. La s være det lengste av disse fem sidelengdene.

La oss først plassere kvadratet med sidelengde s i planet slik at hjørnene er (0,0), (0,s),(s,0) og (s,s) og hjørnet (0,0) er nedre venstre hjørne i rektanglet R som består av de fem kvadratene. For at vi skal rektangelet R, må vi plassere to kvadrat med samme sidelengde x slik at nedre venstre hjørne i de to kvadratene har koordinatene (0,s) og (s,0).
Hvis x=s, må de to gjenværende kvadratene til sammen utgjøre et kvadrat med sidelengde s, hvilket er umulig siden 2 ikke er kvadratisk.
Hvis x<s, må de to gjenværende kvadratene ha sidelengdene (x,s-x) og (s,x) respektive. Følgelig må x=s-x (som gir s=2x) og x=s, hvilket impliserer at 2x=x, i.e. x=0, som åpenbart er umulig. Med andre ord er 5 ikke kvadratisk.

Konklusjon: Alle naturlige tall utenom 2, 3 og 5 er kvadratiske.

[Aleks855]

Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.

Hvordan lager man et kvadrat av 7 kvadrater?

[josi]

____________________________
| | |
| | |
| | |
| | |
|______________|____________|
| | | |
| | | |
| |------- |---------|
| | | |
|______________|_____|______ |

[josi]

Sorry, grafikken gikk i knas i innlegget mitt!

[Gustav]

[josi]

Om ikke Babylon, så skulle jeg tegne et kvadrat bestående av 7 kvadrater. Men grafikken, den sa nei! Så jeg får prøve en verbal fremstilling: Tegn et kvadrat med side 4. Del dette opp i fire like store kvadrater. Del en av disse delkvadratene opp i fire like store kvadrater. Da har vi et kvadrat som består av 1+1+1+4 =7 kvadrater.

[Aleks855]

Ah, tenkte ikke over kvadrater med ulik størrelse.

[Markus]

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1.

Dette betyr at alle partall > 2 er kvadratiske.

På samme måte legger vi et kvadrat med sidelengde 2k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat av sidelengde 2 pluss et kvadrat av sidelengde 2 der et av hjørnene er H. Dette kvadratet deles så i 4 kvadrat av sidelengde 1. Dermed får vi 2k+5 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde 2k+2.

Dette betyr at alle oddetall > 5 er kvadratiske.

Følgelig gjenstår det å avgjøre om tallene 1,2,3 og 5 er kvadratiske.

Tallet 1 er åpenbart kvadratisk.

For tallene 2, 3 og 5 kan vi finne ut hva som kreves for å danne et rektangel bestående av hhv. 2, 3 og 5 kvadrater.

Er tallet 2, må rektanglet bestå av to kvadrat med samme sidelengde. Så forholdet mellom den korteste og lengste siden i rektanglet 1:2. Altså er 2 ikke kvadratisk.

Er tallet 3, må rektanglet bestå av tre kvadrater med sidelengde k, k og 2k, som innebærer at forholdet mellom korteste og lengste side i rektanglet 2:3. Følgelig er 3 ikke kvadratisk.

Anta til slutt at tallet er 5. La s være det lengste av disse fem sidelengdene.

La oss først plassere kvadratet med sidelengde s i planet slik at hjørnene er (0,0), (0,s),(s,0) og (s,s) og hjørnet (0,0) er nedre venstre hjørne i rektanglet R som består av de fem kvadratene. For at vi skal rektangelet R, må vi plassere to kvadrat med samme sidelengde x slik at nedre venstre hjørne i de to kvadratene har koordinatene (0,s) og (s,0).
Hvis x=s, må de to gjenværende kvadratene til sammen utgjøre et kvadrat med sidelengde s, hvilket er umulig siden 2 ikke er kvadratisk.
Hvis x<s, må de to gjenværende kvadratene ha sidelengdene (x,s-x) og (s,x) respektive. Følgelig må x=s-x (som gir s=2x) og x=s, hvilket impliserer at 2x=x, i.e. x=0, som åpenbart er umulig. Med andre ord er 5 ikke kvadratisk.

Konklusjon: Alle naturlige tall utenom 2, 3 og 5 er kvadratiske.

Flotters! Alternativt kan man se at et kvadrat alltid kan deles opp i fire nye like store kvadrater, så hvis $n$ er et kvadratisk tall er følgelig $n+3$ det også. Det er lett å sjekke at $6,7,8$ er kvadratiske, så følgelig er alle $n>5$ kvadratiske. Da gjenstår det bare case-worken som du har gjort.