$(1)$ Fire positive heltall $a,b,c,d$ er alle ulike, og tilfredstiller $a^2+b^2=c^2+d^2$. Bestem den minste verdien $abcd$ kan ha.
Hint:
$(2)$ To tall $x,y \in \mathbb{R}$ er slik at $x^2+y^2+xy=229$ og $xy+x+y=77$. Bestem verdien av $(x-y)^2$.
Edit: la til hint på $(1)$.
Algebra
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].
Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].
Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].
Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.
EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].
Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].
Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].
Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.
EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].
Det er helt korrekt! Fra en tidligere runde 2 i Abel. Tar du den andre og?alund skrev:(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].
Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].
Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].
Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.
EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].
Jepp, men ikke for så veldig lenge siden; siste oppgave runde 2 2014/15.Gustav skrev:Det var noe kjent med oppgave 1. Har løst den for en stund siden. Gammelt Abelproblem det også?
Ser gjest har gitt rett svar uten fremgangsmåte, så jeg legger fram det jeg gjorde;
$a^2+b^2=c^2+d^2 \Longrightarrow (a-c)(a+c) = (d-b)(d+b)$
Problemet reduseres da til å finne det minste tallet som kan faktoriseres på to forskjellige måter, der de to faktorene er distinkte, slik at differansen mellom de to faktorene er et partall. Her telles $a \cdot 1 = a$ som en faktorisering, men differansen $a-1$ må da være partall som nevnt over. Går vi oppover de naturlige tallene finner vi at $15$ er det første tallet som tilfredsiller kravene; $15 \cdot 1 = 15$ og $3 \cdot 5 = 15$.
Videre er det bare å sette inn i det faktoriserte uttrykket for å finne verdiene; $a=8$, $c=7$, $d=4$ og $b=1$, slik at $abcd= 224$.
Hvordan løste du den Gustav?