Julekalender - luke 16

[Gustav]

Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$

[Gjest]

[quote="plutarco"]Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$



mener du buen PB og buen BQ?

[Gustav]

Nei, jeg mener linjestykket mellom punktene P og B, osv.

[Gjest]

antar det har noe med ortogonale sirkler, rettvinklet trekant osv..

[Gustav]

Ingen som løser denne?

Kan røpe at $\angle PAQ=90^\circ$, og at punktene $P,B$ og $Q$ ligger på linje (fra Thales' setning).

[stensrud]

Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$

La $[ABC]$ denotere arealet til $\triangle ABC$. Det holder å vise at brøkener er lik kvadratet av forholdet mellom diameterne: Siden $P,B$ og $Q$ er kollineære, er
\[ \frac{PB}{BQ}=\frac{[ABP]}{[QBA]},\]
og dette forholdet er lik kvadratet av lengdene til to korresponderende sider i trekantene, for eksempel $AP$ og $AQ$.

[Gustav]

Flott