Arealet til en trekant [VGS]

[Nebuchadnezzar]

Kanskje enkel for mange, men en forholdsvis morsom oppgave. Anta du har en trekant med sider $a$, $b$ og $c$. Hva er arealet til trekanten?

Som et hint kan en etter en del omskrivninger skrive arealet på formen $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$, hva er da $S$?

[Gjest]

herons formel
[tex]S=\frac{a+b+c}{2}[/tex] halveomkrets

[Nebuchadnezzar]

Riktig, men oppgaven går da selvsagt ut på å bevise Herons formel Artig oppgave, som kreved både algebrakunnskaper, trigonometri og noe kløkt.

[Drezky]

Jeg skal prøve... (ikke forvent mye av meg)

Vi kan starte med å lage oss en skisse:


Løsning:
Arealet av trekanten vår er gitt ved: [tex]A=\frac{1}{2}ch[/tex]
[tex]h^2+x^2=a^2[/tex] (1)
[tex]h^2+(c-x)^2=b^2[/tex] (2)
[tex]h^2+x^2=a^2\Leftrightarrow h^2=a^2-x^2[/tex] (1)'
Substitusjon (1) i (2):
[tex]a^2-x^2+(c-x)^2=b^2\Leftrightarrow c^2-2cx+x^2+a^2-x^2=b^2\Leftrightarrow c^2+a^2=b^2+2cx\Leftrightarrow x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}[/tex] (3)
Substitusjon (1)' i (3)
[tex][tex][/tex]h^2=a^2-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2\Rightarrow h=\sqrt{[tex]A=\frac{1}{2}c*\sqrt{a^2-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2}[/tex]
}[/tex]
Det gir det nye arealet:
[tex]A=\frac{1}{2}c*\sqrt{a^2-\left ( \frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2}[/tex]
[tex]A=\sqrt{\frac{c^2}{4}\left ( a^2-\left ( \frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2 \right )}=\sqrt{\frac{a^2c^2}{4}-\frac{c^2}{4}*\frac{\left (c^2+a^2-b^2 \right )^2}{4c^2}}=\sqrt{{\left ( \frac{ac}{2} \right )^2}-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{4} \right )^2}[/tex]
Kaller alt grapset i utrykket for x og y og bruker konjugatsetningen:
[tex]\sqrt{{\left ( \frac{ca}{2}+\frac{c^2+a^2-b^2}{4} \right )*}\left ( \frac{ca}{2}+\frac{b^2-a^2-c^2}{4} \right )}[/tex]
Forkorter...og gjør utrykket enklere:
[tex]\sqrt{{\left ( \frac{a^2+c^2+2ca-b^2}{4} \right )\left ( \frac{b^2-\left ( a^2+c^2-2ca \right )}{4} \right )}}=\sqrt{\left ( \frac{\left ( a+c \right )^2-b^2}{4} \right )+\left (\frac{b^2-\left ( -a+c \right )^2}{4} \right )}[/tex]

Nå orker jeg ikke mer....


EDIT:

[tex]\sqrt{{\frac{\left (c+a+b \right )\left ( c+a-b \right )}{4}}\frac{\left (c+b-a \right )\left ( a+b-c \right )}{4}}=\sqrt{\frac{\left ( a+b+c \right )}{2}*\left ( \frac{\left (a+b+c \right )}{2} \right )*\frac{\left ( -2b \right )}{2}*\frac{(a+b+c)}{2}*\frac{\left ( -2a \right )}{2}*\left ( \frac{\left ( a+b+c \right )}{2} \right )*\frac{\left ( -2c \right )}{2}}[/tex]

Setter vi et tall S lik [tex]S=\frac{a+b+c}{2}[/tex] ender vi opp med et mye enklere utrykk da parentes 1 = s, 2=s, 3=s, 4=s
Arealet av hele blir da:
[tex]A=\sqrt{S*\left ( S-b \right )*(S-a)*(S-c)}[/tex]

Q.E.D

Dolanddyret kom meg i forkjøpet

[Dolandyret]

Jeg skal prøve... (ikke forvent mye av meg)

Vi kan starte med å lage oss en skisse:


Løsning:
Arealet av trekanten vår er gitt ved: [tex]A=\frac{1}{2}ch[/tex]
[tex]h^2+x^2=a^2[/tex] (1)
[tex]h^2+(c-x)^2=b^2[/tex] (2)
[tex]h^2+x^2=a^2\Leftrightarrow h^2=a^2-x^2[/tex] (1)'
Substitusjon (1) i (2):
[tex]a^2-x^2+(c-x)^2=b^2\Leftrightarrow c^2-2cx+x^2+a^2-x^2=b^2\Leftrightarrow c^2+a^2=b^2+2cx\Leftrightarrow x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}[/tex] (3)
Substitusjon (1)' i (3)
[tex][tex][/tex]h^2=a^2-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2\Rightarrow h=\sqrt{[tex]A=\frac{1}{2}c*\sqrt{a^2-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2}[/tex]
}[/tex]
Det gir det nye arealet:
[tex]A=\frac{1}{2}c*\sqrt{a^2-\left ( \frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2}[/tex]
[tex]A=\sqrt{\frac{c^2}{4}\left ( a^2-\left ( \frac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right )^2 \right )}=\sqrt{\frac{a^2c^2}{4}-\frac{c^2}{4}*\frac{\left (c^2+a^2-b^2 \right )^2}{4c^2}}=\sqrt{{\left ( \frac{ac}{2} \right )^2}-\left (\frac{c^2+a^2-b^2}{4} \right )^2}[/tex]
Kaller alt grapset i utrykket for x og y og bruker konjugatsetningen:
[tex]\sqrt{{\left ( \frac{ca}{2}+\frac{c^2+a^2-b^2}{4} \right )*}\left ( \frac{ca}{2}+\frac{b^2-a^2-c^2}{4} \right )}[/tex]
Forkorter...og gjør utrykket enklere:
[tex]\sqrt{{\left ( \frac{a^2+c^2+2ca-b^2}{4} \right )\left ( \frac{b^2-\left ( a^2+c^2-2ca \right )}{4} \right )}}=\sqrt{\left ( \frac{\left ( a+c \right )^2-b^2}{4} \right )+\left (\frac{b^2-\left ( -a+c \right )^2}{4} \right )}[/tex]

Nå orker jeg ikke mer....

Kommet godt på vei da Vet ikke helt hvor plussen din helt til slutt der kommer fra, men regner med det bare er noe slurv.
Jeg fortsetter:
[tex]\sqrt{(\frac{(a+c)^2-b^2}{4})(\frac{b^2-(-a+c)^2}{4})}=\sqrt{(\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2})(\frac{(b+c-a)(b-c+a)}{2})}[/tex].

Nå begynner vi å nærme oss noe. Vi vet at i Herons formel er S definert ved: [tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex]. Vi tar derfor i bruk en litt "fiffi" omskrivning: [tex]a+c-b=a+b+c-2b[/tex] o.l. Da får vi at:

[tex]\sqrt{(\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{2})(\frac{(b+c-a)(b-c+a)}{2})}=\sqrt{(\frac{(a+b+c)(a+b+c-2b)}{2})(\frac{(a+b+c-2a)(a+b+c-2c)}{2})}[/tex]

[tex]\sqrt{(\frac{(a+b+c)(a+b+c-2b)}{2})(\frac{(a+b+c-2a)(a+b+c-2c)}{2})}=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2b}{2})(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2a}{2})(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2c}{2})}[/tex].

Så substituerer vi [tex]S=\frac{a+b+c}{2}[/tex] og får:

[tex]\sqrt{S(S-b)(S-a)(S-c)}=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Ser helt flott ut dette her. Flott jobb til begge to

Fra starten er det og mulig å begynne med arealsetningen

$A = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$

For deretter å bruke $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha $ for å finne et uttrykk for vinkelen. For å få rotuttrykket har en eksempelvis at $\sin ( \arccos \alpha) = \sqrt{ 1 - \alpha^2} $. Foretrekker løsningen ovenfor, men det er alltid morsomt å løse en oppgave på flere metoder.