Atter en ulikhet

[Gustav]

For komplekse tall $x,y,z$, vis at

$|x+y|+|y+z|+|z+x|\leq |x|+|y|+|z|+|x+y+z|$

[Norm]

Ulikheten innebærer å vise at

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | x + z | - | y + z | \geq 0[/tex]

Ved Cauchy-Schwarz har man:

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | x + z | - | y + z | \geq | x | + | y | + | z | - | x + y + z | \geq 0[/tex],

siden [tex]| x + y | + | x + z | + | y + z | \geq 2| x + y + z |[/tex],

Og ulikheten er sann siden [tex]| x | + | y | + | z | \geq | x + y + z |[/tex]. D.v.s. uttrykket øverst er [tex]\geq 0[/tex]

[Gustav]

Ulikheten innebærer å vise at

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | x + z | - | y + z | \geq 0[/tex]

Ved Cauchy-Schwarz har man:

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | x + z | - | y + z | \geq | x | + | y | + | z | - | x + y + z | \geq 0[/tex],

siden [tex]| x + y | + | x + z | + | y + z | \geq 2| x + y + z |[/tex],

Og ulikheten er sann siden [tex]| x | + | y | + | z | \geq | x + y + z |[/tex]. D.v.s. uttrykket øverst er [tex]\geq 0[/tex]

Redd dette ikke funker helt. Du har snudd trekantulikheten feil vei et sted.

[Norm]

Nei, jeg har ikke det Men jeg ser det er steg der som ikke er helt kosher.
Jeg prøver påny. Man har

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | y + z | - | x + z | \geq 0[/tex],

man har også

[tex]-2 | x + y + z | + | x + y | + | y + z | + | x + z | \geq 0[/tex], så jeg legger denne ulikheten til den øverste og får

[tex]| x | + | y | + | z | - | x + y + z | \geq 0 \iff | x | + | y | + | z | \geq | x + y + z |[/tex]

Og siden dette er sant, må ulikheten stemme, vi går med andre ord ikke på en selvmotsigelse.

[Gustav]

Det er jo den øverste ulikheten du skal vise. Her har du antatt at den stemmer, og så utledet noe som er sant. Men det betyr ikke at du har vist antagelsen.

[Gustav]

[tex]| x + y + z | + | x | + | y | + | z | - | x + y | - | x + z | - | y + z | \geq | x | + | y | + | z | - | x + y + z | \geq 0[/tex],

siden [tex]| x + y | + | x + z | + | y + z | \geq 2| x + y + z |[/tex],

Dette stemmer ikke. Hvis vi rydder opp i den første ulikheten din, så er den ekvivalent med

$2| x + y + z | \geq | x + y | + | x + z | + | y + z | $

Altså har du snudd triangelulikheten feil vei.

[Gustav]

Ulikheten kalles forresten Hlawkas ulikhet. To beviser kan finnes her: http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/ ... awka.shtml