Tetraeder

[stensrud]

Seks pinner med lengder 17,18,19,20,21 og 23 danner sidekantene til et tetraeder. Kan det finnes en kule som tangerer alle pinnene?

[MatteGeniet99]

Vanskelig oppgave, jeg har sittet lenge og ikke gjort noe prosess på den. Har du gjort noe prosess på oppgaven?

[stensrud]

Vanskelig oppgave, jeg har sittet lenge og ikke gjort noe prosess på den. Har du gjort noe prosess på oppgaven?

Ja den er ganske vanskelig, den er forøvrig fra abelkonkurransen (husker ikke hvilket år). Når det gjelder fremgang er jeg ganske sikker på at jeg har løst den, men jeg tenkte å legge den ut her for å eventuelt se noen andre løsninger. Kan nesten ikke gi deg et hint her, siden med én gang man har den riktige idéen, så er løsningen åpenbar

[MatteGeniet99]

Skal se på oppgaven i morgen! Jeg har på følelsen av at jeg må bevise at en slik tetraeder ikke finnes, eller finne en annen egenskap til tetraederen som gjør at det ikke kan være en kule som tangerer alle sidene Er ganske sikker på at svaret ikke er ja nemlig, hehe

[MatteGeniet99]

Eller nå ser jeg at jeg har lest oppgaven feil! Kulen skal tangere pinnene og ikke sidene som pinnene danner

[stensrud]

Skal se på oppgaven i morgen! Jeg har på følelsen av at jeg må bevise at en slik tetraeder ikke finnes, eller finne en annen egenskap til tetraederen som gjør at det ikke kan være en kule som tangerer alle sidene Er ganske sikker på at svaret ikke er ja nemlig, hehe

Høres ut som du er på rett spor

[MatteGeniet99]

Har ikke sett så mye på oppgaven, men på den tiden jeg har brukt har jeg ikke løst den ihvertfall. Kan du legge ut løsningen din Stensrud? Er du klar for 2. runde imorgen forresten?

[stensrud]

Har ikke sett så mye på oppgaven, men på den tiden jeg har brukt har jeg ikke løst den ihvertfall. Kan du legge ut løsningen din Stensrud? Er du klar for 2. runde imorgen forresten?

Jeg løste den sånn:
Anta at en slik sirkel finnes, og kall hjørnene i tetraederet for $A,B,C$ og $D$. Kall videre tangeringspunktene til kantene fra $A$ på sirkelen for $A_1,A_2$ og $A_3$. Da er $a:=AA_1=AA_2=AA_3$, og tilsvarende for de andre hjørnene. Det følger dermed at sidene i tetraederet har lengdene
\begin{align*}
&a+b\\
&a+c\\
&a+d\\
&b+c\\
&c+d\\
\end{align*}
Anta nå wlog at $a\geq b\geq c\geq d$ (vi kan vel strengt tatt ikke ha likhet, men uansett). Da må
\begin{align*}
23&=a+b\\
21&=a+c\\
18&=b+d\\
17&=c+d\\
\end{align*}
De to første likningene gir $b-c=2$, mens de to nederste gir $b-c=1$. Vi er nådd en motsigelse, og dermed må antagelsen vår være gal,det vil si: en slik sirkel finnes ikke.

Og ja, jeg er veldig klar for andre runde i dag, satser på noen gode oppgaver Hva med deg?