Potenstårn

[Aleks855]

Gitt følgen $2, 2^2, 2^{2^2}, 2^{2^{2^2}}, \ldots$, definert ved $a_1 = 2$ og $a_{n+1} = 2^{a_n}$ for alle $n \geq 1$. Hvilket er det første leddet som er større enn $1000^{1000}$?

[Gustav]

Det tar åpenbart ikke mange ledd før følgen blir enormt stor, så tar bare noen få beregninger: (Tar tierlogaritmen for å slippe altfor høye tall)

$\log (1000^{1000}) = 3000$

$\log (2^{2^{2^2}}) = 16\log 2<3000$

$\log (2^{2^{2^{2^2}}}) = 65536 \log 2 > 3000$

Altså er $2^{2^{2^{2^2}}} >1000^{1000}$ det første leddet som er større.

[Nebuchadnezzar]

En artig om noe hardere oppfølger er å bestemme konvergensradiusen till det uendelige potenstårnet $x^{x^{x^\cdots}}$.
Altså titrering.